Главная > Теория кодов, исправляющих ошибки
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

12.5. ЦИКЛИЧНОСТЬ УДЛИНЕННЫХ КОДОВ ГОППЫ, ИСПРАВЛЯЮЩИХ ДВЕ ОШИБКИ

В данном параграфе доказывается, что некоторые расширенные двоичные коды Гоппы, исправляющие две ошибки, являются циклическими (обобщение примера 1 из § 12.3). Для этого находится группа подстановок, относительно которой код инвариантен, а затем показывается, что одна из этих подстановок состоит из единственного цикла.

Для рассматриваемых кодов многочлен Гоппы является квадратным многочленом с различными корнями, а множество состоит из всех элементов поля не являющихся корнями Следовательно, -код, исправляющий две ошибки. Возможны два случая, зависящих от того, приводим или неприводим многочлен . В соответствии с теоремой 16 и упражнением 6 гл. 9 многочлен может быть записан в виде где — элемент поля со следом, равным неприводим, и со следом, равным 0, если приводим. Пусть расширенный код, получаемый из добавлением общей проверки на четность, а его координаты перенумерованы элементами множества Таким образом, блоковая длина кода равна если неприводим, и если приводим.

Сначала рассмотрим неприводимый случай.

Теорема 10. Пусть определенный выше расширенный -код Гоппы, исправляющий две ошибки, где -неприводимый многочлен над Тогда код инвариантен относительно следующей группы состоящей из подстановок:

где

для всех (Дополнительно о группе см. следующую теорему.)

Доказательство, (i). Докажем прежде всего, что Код инвариантен относительно подстановок (Заметим,

Кодовыми словами являются

Этот [8, 2, 5]-код на самом деле эквивалентен коду Гоппы, рассмотренному в примере 1 из § 12.3.

Упражнения. (14). Показать, что код Сривэставы (при является кодом Гоппы, и, следовательно, для двоичных кодов Сривэставы

(15). Показать, что двоичный код Сривэставы (12.53) при является -кодом и что минимальное расстояние дуального ему кода равно 4.

(16). Показать, что двоичный код Сривэставы с является -кодом и что минимальное расстояние дуального ему кода равно 5.

(17). Доказать, что при обобщенные коды Сривэставы являются кодами МДР. Эти коды иногда называются кодами Габидулина.

(18). Пусть двоичный примитивный обобщенный код Сривэставы с для всех

Доказать, что при код определяется однозначно и равен примитивному коду БЧХ в узком смысле.

(ii). Доказать, что при код также определяется однозначно и что его расширение инвариантно относительно транзитивной группы подстановок.

(19). Доказать следующие свойства для двоичных непримитивных обобщенных кодов Сривэставы с параметрами: примитивный элемент поля различные элементы поля ненулевые элементы поля .

(i). Строки подматриц в (12.51) являются избыточными. Следовательно, матрица может быть выбрана в виде правой части равенства (12.52) с заменой на а.

(ii). Код с проверочной матрицей (12.54) является кодом этого типа.

затем представляется матрицей Например, представляется матрицей

Заметим, что

так что

Пусть — группа, порождаемая подстановками для всех Из равенств (12.38) и

следует, что

и что порядок группы равен Остается доказать, что группа, порожденная группой и подстановкой С, задается (12.33). Это следует из равенства

Упражнение. (10). Доказать, что

Докажем теперь, что код эквивалентен циклическому коду.

Теорема 11. (Берлекэмп и Морено). Пусть, как и в теореме — расширенный неприводимый двоичный код Гоппы, исправляющий две ошибки. Группа задаваемая (12.33), содержит подстановку которая представляет собой один цикл, содержащий все элементы множества Следовательно, координаты можно переупорядочить так, чтобы код стал циклическим.

Доказательство. Элементы множества можно представить ненулевыми векторами где и вектор соответствует элементу если и вектор соответствует элементу Кроме того, векторы представляют один и тот же элемент для всех Действие подстановки задаваемой (12.37), записывается в виде

или, что эквивалентно, в векторной записи

Мы хотим найти такой элемент чтобы подстановка состояла из одного цикла, т. е. хотим найти такое наименьшее число для которого при некотором число

равнялось бы Собственные значения матрицы равны А, и где

Собственные векторы задаются равенствами:

Запишем разложение вектора по собственным векторами

Тогда

Пусть теперь такое наименьшее целое число, что

для некоторого Тогда

Подставляя (12.41) в (12.40), получаем:

Пусть Тогда так что по теореме 8 гл. 4 .

Предположим теперь, что примитивный корень степени из единицы. Тогда так что или

Выберем так, чтобы выполнялось условие таким образом,

Теперь является корнем многочлена следовательно, по теореме 15 гл. 9. Тогда и в силу (12.43) и теоремы 15 гл. лежит в поле

Согласно (12.42) должно выполняться условие т. е.

Но числа взаимно просты, так что является также примитивным корнем степени из единицы. Следовательно, является наименьшим целым числом, для которого выполняется равенство (12.44), и, таким образом, подстановка состоит из единственного цикла. (Заметим, что равенство (12.41) справедливо при

Согласно § 9.4 любой циклический код длины является реверсивным. [Код (12.19) именно Поэтому, так как мы знаем из теоремы 11, что циклический код, отсюда вытекает, что группа автоморфизмов кода содержит подстановку реверсию R (переводящую в при соответствующей нумерации координат и подстановку (см. § 9.4). Порядок группы автоморфизмов кода согласно упражнению равен по меньшей мере На самом деле (см. упражнение подстановки принадлежат группе и поэтому в точности совпадает с группой, порожденной подстановками

Конечно, группа автоморфизмов кода может быть и больше группы что мы и увидим из приводимых ниже примеров.

Упражнение. (11). (i). Показать, что подстановка

принадлежит группе фиксирует точку и переводит Таким образом, эта подстановка является подстановкой

[Указание. Использовать разложение

(ii). Доказать, что подстановка является реверсией.

Пример. Для иллюстрации теорем 10 и 11 рассмотрим -код задаваемый (12.19) из § 12.3. Этот код, в частности, инвариантен относительно подстановок:

и

Как было показано в § 12.3, следующее переупорядочивание координат: превращает этот код в циклический. Согласно (12.45) подстановка для этого кода равна и через циклы записывается в виде

Согласно теореме 11 этот код инвариантен относительно группы подстановок порядок которой равен 54. На самом деле этот код инвариантен относительно гораздо большего множества подстановок.

Упражнение. (12). Доказать, что порядок группы автоморфизмов -кода (12.19) равен 1296.

Применяя теорему 11 к примеру 3 из § 12.3, получаем [17, 8, 6] циклический код, который на самом деле является квадратично-вычетным кодом (см. гл. 16) с группой автоморфизмов порядка 2448.

В качестве третьего примера выберем

Тогда циклический код с порождающим многочленом

Случай, когда G(z) приводим. Аналогичный результат имеет место для приводимого многочлена над скажем, для где Выберем теперь координат кода занумеруем элементами множества Предполагая и снова определим подстановки равенствами (12.34). Это действительно подстановки на множестве так как меняют местами а С просто фиксирует оба этих элемента.

Теорема 12. Если многочлен приводим, то расширенный код Гоппы инвариантен относительно группы состоящей из подстановок вида

действующих на множестве Эта группа содержит подстановку представляющую собой один цикл, содержащий все элементы множества Следовательно, код эквивалентен циклическому коду.

Доказательство. Первое утверждение доказывается точно так же, как и в теореме 10. Заметим, что теперь Для доказательства второго утверждения надо показать, что в поле найдется элемент, скажем, для которого ни при каком не выполняется равенство

Затем выберем так, чтобы имело место равенство

Это всегда можно сделать, так как Тогда будет наименьшим целым числом, для которого будут выполняться равенства (12.41) и (12.42), что и завершит доказательство.

Итак, остается показать, что существует для которого равенство (12.47) не выполняется ни при каком Минимальное для которого имеет место (12.47), должно быть делителем Действительно, так как то следовательно, в силу (12.47) должно выполняться равенство где Но так как минимально, то

Обозначим через число корней многочлена лежащих в поле при Так как многочлен делит многочлен а последний многочлен имеет в поле точно корней (а именно все элементы за исключением 0 и 1), то и все корни многочлена также лежат в поле так что

Число корней многочлена которые не являются корнями (12.47) ни при каком равно

где функция Мебиуса, определенная в гл. 4.

Действительно, если такой корень, то он будет учтен только в члене, соответствующем т. е. только один раз. С другой стороны, если корень многочлена при он также является корнем многочлена для произвольного такого, что т. е. число раз его учета в сумме равно:

по теореме 14 гл. 4.

Наконец, опять по теореме 14 гл. 4 величина (12.48) равна:

что и требовалось доказать.

Упражнение. (13). Доказать, что этот код также реверсивен и что в качестве подстановки, осуществляющей реверсию, можно взять

Следовательно, в рассматриваемом случае код инвариантен относительно группы порядка порожденной циклической подстановкой подстановкой и подстановкой-реверсией (см. упражнение (4) гл. 9).

Задача (нерешенная). (12.3). Какие другие расширенные коды Гоппы являются циклическими?

1
Оглавление
email@scask.ru