18.7. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ, КОТОРЫЕ УВЕЛИЧИВАЮТ ДЛИНУ

18.7.1. КОНСТРУКЦИЯ X: ДОБАВЛЕНИЕ СУФФИКСОВ К КОДОВЫМ СЛОВАМ

В этой конструкции комбинируются три кода, чтобы построить четвертый код. Предположим, что и 2 представляют собой -коды, удовлетворяющие следующему свойству: код 2 является объединением различных сдвигов кода

где некоторые подходящим образом выбранные векторы.

Пример. (6). Пусть -код с повторением -код из всех слов четного веса Тогда и

Пусть - любой -код. В рассмотренном примере в качестве мы можем взять -код Тогда новый код определяется как код

Другими словами, состоит из векторов вида где

Попросту говоря, код разбивается на смежные классы по коду и к каждому смежному классу присоединяется свой суффикс (рис. 18.4).

Рис. 18.4. Конструкция X: добавление суффиксов к коду : 1 - смежные классы кода 2 — суффиксы

Теорема 9. Новый код имеет параметры

Доказательство. Пусть и -различные кодовые слова кода Если принадлежат одному и тому же смежному классу кода по коду то

Если принадлежат разным смежным классам, то -

Пример. (6). (Продолжение.) Присоединяя суффиксы из мы находим, что представляет собой -линейный код

Как показывает этот пример, если коды и линейные, то мы можем упорядочить векторы так, чтобы код также был линейным.

Конструкция X может быть применима, когда имеются вложенные семейства кодов. Например, примитивный код БЧХ с конструктивным расстоянием является объединением смежных классов кода БЧХ с конструктивным расстоянием (см.

§ 7.6). Поэтому эта конструкция применима к любой паре примитивных кодов БЧХ. Например, если то в качестве кода может быть выбран -код. Комбинируя в этом случае -коды, мы

получаем обобщает конструкцию Андрианова — Сасковца

Приведем несколько примеров:

Коды, полученные при применении конструкции X к кодам БЧХ, на рис. ПА.2 обозначены буквами

Другими вложенными семействами кодов, к которым может быть применима эта конструкция, являются циклические коды (обозначены буквами коды Препараты (см. § 15.6) и коды Дельсарта — Геталса (см. рис. 15.10). Например, воспользовавшись теоремой 36 из гл. 15, мы можем в качестве кода взять код а в качестве — код Хэмминга и получить бесконечное семейство нелинейных

кодов. Для случая получаем -код.

Упражнения. (13). (а). Применить конструкцию X к -кодам (см. § 15.5) для получения ( и -кодов.

(Ь). Применить конструкцию X к кодам для получения -кода.

(14). (а). Конструкция Пусть -код является объединением с различных сдвигов -кода например

где код является объединением различных сдвигов -кода например

Каждое кодовое слово кода 933 может быть единственным образом представлено в виде Кроме того, пусть обозначают -коды. Показать, что код, состоящий из всех векторов вида имеет параметры .

(b). Например, выбрать коды [255, 191, 17] и коды получить -код.

(c). Касахара и др. [721] успешно применили следующую конструкцию, заключающуюся в добавлении двойных суффиксов.

Пусть а — примитивный элемент Определим три кода БЧХ:

где степень минимального многочлена элемента Здесь код является объединением смежных классов кода Поэтому мы можем присоединить суффикс длины к вектору таким образом, чтобы векторы из одного смежного класса имели один и тот же суффикс, но векторы из разных смежных классов имели бы различные суффиксы. Далее код является объединением смежных классов кода и мы подобным же образом добавляем суффикс длины Тогда новый код состоит из векторов

Показать, что код имеет параметры

Получить, используя описанное построение [22, 6, 9] коды.

Другие примеры и обобщения можно найти в работе [721]. Полученные таким способом коды на рис. ПА.2 обозначены буквами