8.7. НЕКОТОРЫЕ ВЕСОВЫЕ СПЕКТРЫ

Теорема 31 полезна в тех случаях, когда легко определяется степень многочлена

Примеры. (1). Симплексный код с длиной Согласно (8.19) МС-многочлен любого кодового слова записывается в виде

Следовательно, равна 1, и вес кодового слова равен

(2). Вырожденный симплексный код длины где четно и

Циклотомический класс содержит следующие и чисел:

(Проверить для

Размерность идеала с идемпотентом равна и, и все ненулевые кодовые слова исчерпываются многочленами для . МС-многочлен типичного кодового слова имеет вид

а его степень равна Таким образом, и степень равна что дает для каждого кодового слова вес, равный

(3). Код, порожденный идемпотентом с теми же параметрами, что и в примере 2. Размерность этого кода равна а типичное кодовое слово имеет вид

где

Если то вес кодового слова равен Если то вес равен

Если то получаем циклическую перестановку слова МС-многочлен этого слова равен

где Нам надо найти Так как для или для

то

Далее согласно теореме 8 гл. 4 лежит в Следовательно,

Последнее выражение равно 0 или I в зависимости от Если то степень равна и вес кодового слова равен Если то степень многочлена равна 1 и вес кодового слова равен Таким образом, верна следующая теорема.

Теорема 32. При код, порожденный идемпотентом имеет три ненулевых веса, а именно:

Теорема 33. Весовой спектр этого кода имеет вид:

Доказательство. Так как этот код содержит код то его дуальный содержится в коде Следовательно, 3 и можно воспользоваться теоремой 2 гл.

Упражнения. (61). Показать, что минимальное расстояние дуального кода равно 3.

(62). Пусть — код, порожденный идемпотентом т. е. сформированный из предыдущего кода путем добавления кодового слова 1. Доказать, что размерность равна и что минимальное расстояние дуального кода равно 4. Пусть код, получаемый из путем добавления общей проверки на четность. Показать, что весовой спектр кода имеет вид:

Некоторые примеры. -код, полученный расширением циклического кода, порожденного идемпотентом

[64, 10, 28]-код, полученный расширением циклического кода, порожденного идемпотентом

Пример. (4). Код длины где нечетно, порождается идемпотентом где . В этом случае взаимно просты и циклотомический класс состоит из чисел:

(Проверить для

Код имеет размерность и состоит из слов вида

Если один из коэффициентов а или равен нулю, то вес кодового слова равен При кодовое слово является циклической перестановкой слова вида

Степень МС-многочлена этого слова равна и он задается формулой

Пусть тогда Многочлены и могут иметь два общих корня, или один, или ни одного; соответственно степень многочлена равна или 1. Таким образом, единственно возможными значениями весов являются числа:

Приведенные рассуждения не доказывают того, что в коде действительно имеются оба крайних экстремальных веса. Однако так как минимальное расстояние дуального кода не менее 3, то можно воспользоваться теоремой 2 гл. 6 и вычислить число слов каждого веса.

Теорема циклический код с порожденный идемпотентом имеет следующий весовой спектр:

Некоторые примеры, иллюстрирующие теорему 34, приведены на рис. 8.7.

Рис. 8.7. Примеры к теореме 27

Упражнение. (63). Для доказать следующие утверждения:

(1). Если то для некоторого X из имеет место равенство Следовательно, многочлен при имеет в два корня.

(2). В этом случае точно один из них является корнем

(3). Если то неприводим в кольце над полем

Следствие 35. Минимальное расстояние кода равно 5. Таким образом, кодовые слова каждого фиксированного веса образуют -схему с параметром

Упражнение (64). Построить -код путем добавления общей проверки на четность к коду с идемпотентом Показать, что векторы каждого веса образуют -схему и найти ее параметры

ЗАМЕЧАНИЯ К ГЛ. 8

(см. скан)

(см. скан)