20.2. ГРУППА МАТЬЕ M24

В этом разделе определяется группа Матье и показывается, что код инвариантен относительно этой группы.

Обозначения. Координаты кода будем нумеровать элементами множества а координаты кода

элементами множества где последняя координата соответствует общей проверке на четность. Пусть также множества

обозначают квадратичные вычеты и невычеты по модулю 23.

Выберем конкретный способ задания как циклического кода с порождающим идемпотентом

и порождающим многочленом

Тогда код 924 получается добавлением к коду общей проверки на четность, и его порождающая матрица имеет вид

где представляет собой -циркулянтную матрицу, первая строка которой равна Строка матрицы (20.6) с номером равна где

Согласно теореме 10 гл. 16 код инвариантен относительно группы которая имеет порядок и порождается следующими перестановками элементов множества (выражение

Другими словами,

Определение. Группа Матье является группой, порожденной перестановками где

или, что эквивалентно,

Теорема 1. Код инвариантен относительно группы -Доказательство. Нам надо только проверить, что код инвариантен относительно перестановки Легко видеть, что

Теперь мы воспользуемся тождеством

Так как то получаем, что

и поэтому переводит каждую строку (20.6) в кодовое слово