1.8. ДУАЛЬНЫЙ КОД

Если векторы (с компонентами из поля то их скалярное произведение равно

(все вычисления производятся в Например, скалярное произведение двоичных векторов равно

Если то векторы оказываются ортогональными.

Упражнение. (32) Для двоичных векторов если и только если четное число, и если и только если нечетное число. Поэтому если и только если четное число.

Как показывает это упражнение, свойства скалярных произведений векторов над конечным и действительным полями существенно отличаются.

Определение. Если линейный -код над то дуальный или ортогональный к нему код определяется как множество всех векторов, ортогональных всем кодовым словам кода

Таким образом, из результатов § 1.2 вытекает, что — это в точности множество всех проверок на четность для кода Если имеет порождающую матрицу и проверочную матрицу то имеет порождающую матрицу и проверочную матрицу Таким образом, это является

подпространством, ортогональным к гл. 5 мы обсудим минимальное расстояние кода

Упражнения. (33). (а). Показать, что Пусть Показать, что

(34). Показать, что дуальным к двоичному -коду с повторением (код является -код из всех слов четного веса (код

Если то назовем код слабо самодуальным, если то называется (строго) самодуальным.

Таким образом, код слабо самодуален, если для каждой пары (не обязательно различных) кодовых слов в Код самодуален, если он слабо самодуален и имеет размерность (поэтому должно быть четным числом).

Например, двоичный код с повторением слабо самодуален, если и только если четное. Когда код с повторением самодуален. Таким же является и троичный код

Упражнения. (35). Построить двоичные самодуальные коды для длин и .

(36). Для нечетного пусть Сбудет слабо самодуальным двоичным кодом. Показать, что где -вектор из всех единиц.

(37). Показать, что код с проверочной матрицей над любым полем строго самодуален тогда и только тогда, когда А — квадратная матрица такая, что

(38). Показать, что в двоичном слабо самодуальном коде каждое кодовое слово имеет четный вес. Более того, если каждая «строка порождающей матрицы имеет вес, кратный 4, то этому же свойству удовлетворяет каждое кодовое слово

(39). Показать, что в троичном слабо самодуальном коде каждое кодовое слово имеет вес Хэмминга, кратный 3.