11.7. ИЗВЕСТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Для и нечетного теорема 11 утверждает, что и поэтому коды из теоремы 9 имеют максимально возможную длину Таким образом, один случай из нерешенной задачи (11.1а) известен: если нечетное, то

С другой стороны, для и четного в силу следствия 7 должно выполняться неравенство и коды из теоремы 10 показывают, что если четное.

Наилучшие известные результаты для произвольного представлены графически. На рис. 11.2 приведены значения для которых известно существование над полем GF(q) (таким образом, равно числу проверочных символов).

В силу теоремы 2 рисунок симметричен относительно За исключением кодов из теоремы 10, неизвестно ни одного кода,

который лежал бы выше пунктирной линия

Согласно следствию 7 не существует кодов, лежащих выше сплошной линии.

Имеются очень веские основания предположить, что пунктирная линия является истинной верхней границей, и мы сформулируем это в виде следующей задачи.

Задача (нерешенная). (11.4). Доказать (или опровергнуть) что все коды МДР, за исключением кодов, указанных в теореме 10, лежат ниже прямой изображенной на рис. 11.2.

Известно, что это предположение справедливо для кодов с 5, или или а также в некоторых других случаях.

В терминах функции наше предположение выглядит следующим образом:

за исключением случая

Рис. 11.2. Наилучшие известные МДР-коды Символ означает, что код существует для всех символ означает, что код существует, если и только если