Глава 4. Конечные поля

4.1. ВВЕДЕНИЕ

Конечные поля используются для построения большинства известных кодов и их декодирования. Они играют также важную роль во многих ветвях математики, например в теории блок-схем, в конечных геометриях (см. приложение и др. В данной главе дается описание конечных полей.

В гл. 3 поле GF(24) было определено как множество многочленов степени не более 3 от переменной с двоичными коэффициентами, операции в котором выполняются по модулю неприводимого многочлена . В данной главе будет показано, что все конечные поля могут быть получены таким способом.

Поле GF(p), р - простое. Простейшими полями являются следующие поля. Пусть простое число. Тогда целые числа по модулю образуют поле порядка обозначаемое через или Элементами поля являются , а операции выполняются по модулю

Например, двоичное поле, троичное поле, в котором и т. д.

Упражнения. (1). Проверить, что есть поле.

(2). Выписать таблицы сложения и умножения для и

Мы говорим, что поле является расширением поля если содержит Например, поле действительных чисел является расширением поля рациональных чисел.

Построение GF(p^m). Та же самая конструкция, которая была использована в гл. 3 для построения поля GF(24) из поля GF(2), может быть использована и в общем случае, если известен многочлен удовлетворяющий двум условиям: (i). Коэффициенты лежат в .

(ii). не приводим над не может быть представлен в виде произведения двух многочленов меньшей степени с

коэффициентами из поля (Такие многочлены кратко называются неприводимыми над GF (р). В следствии 16 доказывается, что такие многочлены всегда существуют

Например, многочлен приводим над а многочлены неприводимы

Теорема 1 Предположим, что -неприводимый над многочлен степени множество всех многочленов от степени с коэффициентами из поля операции над которыми выполняются по модулю многочлена образует поле порядка

Ниже мы увидим (теорема 6), что существует только одно поле порядка Оно называется полем Галуа (порядка и обозначается через

Произвольный элемент поля может быть также записан в виде -вектора с элементами из как это было сделано в гл. 3

Элементы поля могут также интерпретироваться как классы вычетов многочленов от с коэффициентами из по модулю (см § 2 3) Пусть а обозначает класс вычетов, содержащих переменную элемент поля Тогда, по построению поля Таким образом, уравнение имеет в поле корень а Мы говорим, что получается из присоединением к корня многочлена

Таким образом, состоит из всех многочленов от а степени с коэффициентами из Элементом поля является

где

Эта конструкция годится также и для бесконечных полей. Пусть, например, обозначает поле рациональных чисел Если присоединить к корень многочлена то получим поле , состоящее из всех чисел вида с обычными правилами сложения и умножения элементов Конечные поля значительно проще бесконечных

Пример Используя неприводимый над многочлен получаем представление поля показанное на рис 4 1

Рис. 4.1

Упражнения (3) Найти двоичные неприводимые многочлены степеней 2, 3 и 5 Выписать элементы поля и провести в этом поле некоторые вычисления

(4) Найти неприводимый над многочлен степени 3 Содержание главы В § 4.2, 4.3 излагаются основы теории конечных полей Любое конечное поле содержит элементов для некоторого простого и некоторого целого и существует в точности одно такое поле, обозначаемое через (теорема 6) Более того, такое поле существует для каждых (теорема 7) В теореме 4 доказывается, что каждое конечное поле содержит примитивный элемент, что позволяет ввести логарифмирование

С каждым элементом поля связан неприводимый многочлен, называемый его минимальным многочленом Эти многочлены играют важную роль для циклических кодов и изучаются в § дается правило построения неприводимых многочленов, основанное на важной формуле (4 8)

В § 4 5 содержатся таблицы полей небольшой мощности и при митивных многочленов В § 4 6 показывается, что группа автоморфизмов поля является циклической группой порядка (теорема 12) В § 4 7 приводится формула (теорема 15) для числа неприводимых многочленов В последних двух параграфах обсуждаются различные свойства базисов поля рассматриваемого как векторное пространство над GF(p). В частности, в § 49 приводится доказательство важной (но трудной) теоремы о нормальном базисе (теорема 25)