Пусть 
обозначает внутренний спектр 
Тогда 
Теорема 13. (Дельсарт и Геталс.) Для любого 
-множества 
имеет место неравенство 
где с было определено в теореме 7.
Доказательство. Как было показано в § 21.5, для схемы отношений, образованной симплектическими формами, выполняется равенство
Используя пп. 
упражнения (3) гл. 15, получаем, что
Далее
С учетом того что 
и
наше выражение принимает вид
Кроме того, согласно теореме 2
Следовательно,
По теореме 
поэтому 
Эта теорема показывает, что множества симплектических форм, описанные в гл. 15, действительно являются максимальными множествами.
Теорема 14. Если 
-множество У таково, что 
внутренний спектр У задается равенствами
где 
Доказательство. Если 
достигает верхней границы, то каждый член в левой части выражения (21.51) равен нулю, т. е.
Далее для 
справедливо равенство
При 
все члены в левой части этого равенства, кроме первого, обращаются в нуль, и оно с учетом (21.49) превращается в следующее равенство:
Но 
и поэтому
Утверждение теоремы следует из упражнения 
гл. 15. Эта теорема позволяет вычислить спектры расстояний кодов, построенных из максимальных 
-множеств в гл. 15.
Упражнение. (12). (Касами [727].) Используя теорему 14, показать, что, если 
— нечетное число, то код, дуальный коду БЧХ, исправляющему тройные ошибки, имеет параметры
и весовой спектр
Замечание. Для четных 
этот метод непригоден. Однако для этого случая весовой спектр был найден Берлекэмпом ([113, табл. 16.5], [114] и [118]). Код, дуальный расширенному коду БЧХ, исправляющему тройные ошибки, имеет параметры
и весовой спектр
Упражнение. (13). Применить конструкцию 
описанную в § 18.9.1, к коду равному 
расширенному коду БЧХ, исправляющему тройные ошибки, и получить для всех 
коды с расстоянием 7, избыточностью 
и длиной 
если 
четное, или длиной 
если 
нечетное.
переменных (см. § 21.5), а 
- подмножество X, обладающее тем свойством, что для 
ранг формы 
равен по крайней мере 
Такое множество 
называется 
-множеством. В этом разделе мы выведем верхнюю границу для объема 
-множества.
