9.4. ТАБЛИЦА КОДОВ БЧХ

Хотя, как мы увидим в § 9 5, при фиксированной скорости передачи характеристики кодов БЧХ с ростом ухудшаются, для умеренных длин, вплоть до нескольких тысяч символов, они попадают в число наилучших известных кодов На рис. 9.1 приведена таблица примитивных двоичных кодов БЧХ, блоковая длина которых не превосходит 255 Для каждого кода указаны длина размерность и минимальное расстояние

Среди приведенных на рис 9 1 кодов только для одного -кода конструктивное расстояние и известно,

что Однако (см. замечания к гл. 9) для больших значений имеется бесконечное множество кодов такого сорта. Как мы видели в гл. 7, примеры непримитивных кодов БЧХ, для которых строятся просто.

Интересные непримитивные коды БЧХ. Иногда непримитивные коды БЧХ (при укорочении) содержат больше информационных символов, чем примитивные коды БЧХ с тем же числом проверочных символов.

Например, пусть Первые два циклотомических класса имеют вид:

В общем случае если то так что корни многочлена лежат Если корень минимального многочлена, то также является его корнем. Следовательно, любой циклический код длины реверсивен (§ 7.6).

Пусть код БЧХ (в широком смысле непримитивный!) с порождающим многочленом Тогда элементы при являются корнями следовательно, согласно границе БЧХ минимальное расстояние не меньше чем

При код является -кодом и при том же числе проверочных символов имеет на один информационный символ больше, чем расширенный примитивный код БЧХ (см. § 18.7.3).

Упражнение. (4). Пусть нечетно, а соответственно подстановки: Подстановка порождает циклическую группу

Показать, что порождают группу порядка Эта группа называется группой диэдра и представляет собой группу вращений и осевых симметрий правильного «-угольника. Доказать, что

(ii) Пусть группа, содержащая элементы такие, что имеют место условия (9.18); для всех Доказать, что подгруппа группы порожденная элементами изоморфна группе диэдра порядка

Реверсивный циклический код длины инвариантен относительно группы порожденной подстановками Показать, что: если мультипликативный порядок 2 по модулю четен и то порядок группы равен и она совпадает с группой, рассмотренной в упражнении (40) гл. в остальных случаях и порядок равен