15.7. ОБОБЩЕНИЕ ГЕТАЛСА КОДОВ ПРЕПАРАТЫ

В § 15.5 мы видели, что коды обобщают коды Кердока, так как (напомним, что четно). Коды Препараты, как мы только что видели, дуальны к кодам Кердока в том смысле, что спектр весов кода получается как преобразование Мак-Вильямс от спектра кода . В данном параграфе строится нелинейный код исправляющий три ошибки, который в этом же смысле дуален коду Эта конструкция была предложена Геталсом в работах [495] и [496], и мы предлагаем читателю посмотреть в этих статьях доказательства следующих фактов.

Код определяется для произвольного как нелинейный код с длиной и минимальным расстоянием 8, содержащий слов, где Первые несколько кодов из этого семейства кодов имеют параметры

Код содержит в 4 раза больше слов, чем расширенный код БЧХ той же длины, исправляющий три ошибки.

Как и ранее, код состоит из некоторого линейного кода и смежных классов по я. Словами кода являются векторы

где

Следовательно, размерность кода равна Представители смежных классов задаются выражениями (15.48).

Спектр весов кода совпадает с его спектром расстояний и равен преобразованию Мак-Вильямс от спектра весов кода который приведен на рис. 15.13 (хотя вычисление этого спектра откладывается до гл. 21).

Рис. 15.13. Спектр весов и (расстояний) кода

Задачи (нерешенные). (15.2). Пусть получается из путем замены в линейном подкоде идемпотента идемпотентом Обладает ли код теми же свойствами, что и код

(15.3). Найти код, спектр весов которого равен преобразованию Мак-Вильямс от спектра весов кода при произвольном

(15.4). Доказать, что коды содержат по меньшей мере вдвое больше слов, чем любой линейный код той же длины и с тем же минимальным расстоянием. Что можно сказать о кодах и

ЗАМЕЧАНИЯ К ГЛ. 15

(см. скан)

(см. скан)