18.6. ОБЩИЙ ПОДХОД К РАЗЛОЖЕНИЮ ЦИКЛИЧЕСКИХ КОДОВ

Этот раздел описывает метод Касами [731], в котором многочлены Мэттсона — Соломона любого циклического кода составной длины выражаются через МС-многочлены более коротких кодов. (Методы, развитые в не всегда применимы к приводимым кодам.)

Пусть — двоичный циклический -код, где (Тот же самый способ действует и для случая любого конечного поля.)

Обозначения. Как и прежде, Кроме того, числа определяются условиями (18.3).

Случай (I). Код неприводим, и ненулями его являются элементы где - циклотомический смежный класс Можно написать, что Тогда состоят из нескольких повторений циклотомического смежного класса Множество состоит из вычетов

Например, если -код, то

Пусть — неприводимый двоичный циклический -код, ненулями которого являются элементы неприводимый циклический над полем с ненулями

МС-многочлен слова кода имеет вид где — произвольный элемент поля

МС-многочлен слова кода имеет вид где с — произвольный элемент поля

Теорема 7. (Касами.) МС-многочлен любого кодового слова получается из если элемент заменить на и положить

Доказательство. Обозначим через многочлен, полученный таким способом. После ряда алгебраических преобразований получаем, что

Но это и является МС-многочленом слова кода

Для предыдущего примера

Случай (II). В общем случае обозначим через любой циклический -код, ненулями которого являются элементы

Предположим, что Пусть для каждого для некоторого обозначает наименьшее число в множестве (Может так случиться, что в то время как или наоборот.) Пусть — двоичный циклический код длины с ненулями и пусть — неприводимый циклический код над длины с ненулями МС-многочлен слова кода имеет вид

для Заметим, что если то этот циклотомический смежный класс встретится дважды в сумме, один раз с элементом и один раз с элементом МС-многочлен слова кода имеет вид

где

Теорема 8. (Касами.) МС-многочлен любого слова кода получается из если элемент заменить на и положить

Пусть, например, — [63, 18]-код с ненулями где Тогда

Код имеет ненули и представляет собой -код из всех слов четного веса. Код имеет ненули и его проверочный многочлен равен а код имеет ненули и его проверочный многочлен равен МС-многочлены кодовых слов из равны соответственно

Заменяя на многочлен имеем

что является МС-многочленом слова кода .