4.4. КАК НАХОДИТЬ НЕПРИВОДИМЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ

Первые две теоремы содержат ключевые формулы

Теорема 10 Многочлен равен произведению всех нормированных неприводимых над многочленов, степени которых делят

Доказательство (i) Пусть -неприводимый над многочлен степени d, где Случай тривиален, поэтому предположим, что Если использовать для построения поля, то в этом поле найдется элемент, для которого является минимальным многочленом, и тогда по свойству Согласно лемме 9 и упражнению Следовательно, Наоборот, пусть -неприводимый делитель степени Требуется показать, что Опять предположим, что так что Как и в части используем многочлен для построения поля порядка Пусть корень и пусть примитивный элемент поля так что

Так как то и в силу леммы 5 из (4 9) вытекает, что Следовательно, и порядок элемента

должен делить Тогда согласно лемме Аналогичные рассуждения приводят к следующей теореме.

Теорема 11. Для любого поля где степень простого числа, имеет место равенство:

Используем уравнение (4.7) и теорему 10 для вычисления неприводимых многочленов и минимальных многочленов. Для примера выберем и будем действовать следующим образом. Согласно теореме 10

Имеются два неприводимых многочлена степени 1, а именно Минимальными многочленами элементов в поле соответственно являются

Имеется один неприводимый многочлен степени 2, а именно Минимальные многочлены элементов поля имеют вид

Имеются два неприводимых многочлена степени 3, а именно Задавая поле корнем а уравнения имеем:

Разложение (4.11) согласуется с теоремой 10: делителями являются числа 1 и 3, и распадается в произведение двух неприводимых многочленов степени 1 и двух неприводимых многочленов степени 3.

Многочлены называются взаимными. В общем случае взаимный к многочлен определяется обращением порядка следования коэффициентов:

Иными словами, взаимный к многочлен определяется как многочлен Корни взаимного многочлена обратны к корням исходного многочлена. Многочлен, взаимный к неприводимому, сам неприводим.

Таким образом, если минимальный многочлен элемента а, то минимальным многочленом элемента является взаимный к многочлен.

Мы уже знаем следующие делители многочлена (неприводимые многочлены степеней 1 и 2), и взаимный к нему (неприводимые многочлены степени 4). Выполняя деление, находим оставшийся неприводимый многочлен степени 4: таким образом,

Задавая поле GF(24) корнем уравнения получаем:

Согласно теореме 4 многочлен, задающий поле, всегда может быть выбран примитивным. (Достаточно выбрать минимальный многочлен примитивного элемента.) Как видно из рис. 3.1, каждый из способов задания поля — в виде многочленов от а степени не более или в виде степеней примитивного элемента, являющегося корнем обладает своими преимуществами.

Однако задача определения, какой из неприводимых многочленов является примитивным, является весьма трудной (см. § 7.9 и ссылки, приведенные в замечаниях). Упражнение. (21). Показать, что

и что в поле задаваемом корнем уравнения имеет место: