20.3. ГРУППА М24 5-ТРАНЗИТИВНА

Теорема 2. Группа -транзитивна.

Доказательство. Группа содержит перестановку

Поскольку группа порождается перестановками Перемножая эти порождающие перестановки, мы находим перестановки со следующими длинами циклов: 1-23, 12-112, 13-73, 14-54, 18-28, 212 и 46. (Например, таковыми являются перестановки

Перестановки с длинами циклов 1-23 и 212 показывают, что группа транзитивна. Используя действие сопряжения (и упражнение (1)), мы видим, что стабилизатор любой точки (т. е. подгруппа; оставляющая эту точку неподвижной) содержит перестановку типа 1-23, и поэтому он транзитивен на оставшихся

23 точках. Следовательно, группа 2-транзитивна. Вновь посредством действия сопряжения убеждаемся, что стабилизатор двух точек содержит перестановки типов и 13-73, и поэтому он транзитивен на оставшихся 22 точках. Следовательно, группа 3-транзитивна. Аналогично стабилизатор трех точек содержит перестановки типа 13-73 и 14-54, и поэтому он транзитивен на оставшихся 21 точках. Следовательно, группа транзитивна. Подгруппа, оставляющая неподвижным множество из 4 точек как единое целое, содержит перестановки типов 14-54 и 46, и поэтому транзитивна на оставшихся 20 точках. Следовательно, группа транзитивна на -элементных подмножествах множества. Подгруппа, оставляющая неподвижным любое -элементное подмножество как единое целое, содержит перестановки типов которые индуцируют перестановки типов 5 и 13-2 на -эле-ментных множествах (снова надо рассмотреть действие сопряжения и использовать упражнение (1)). Так как последние две перестановки порождают полную симметрическую группу на 5 элементах (упражнение (2)), то группа 5-транзитивна.

Упражнения. (1). Пусть а — перестановки, причем выписана в виде произведения непересекающихся циклов. Показать, что перестановка, сопряженная с посредством а, т. е. получается из применением перестановки а к символам Например, если то (312).

(2). Показать, что любая перестановка на множестве порождается перестановками и (12).

(3). Показать, что и

(4). Показать, что и поэтому порождается перестановками

(5). Показать, что переводит если или если

(6). Показать, что группа транзитивна на октадах. [Указание. Воспользоваться теоремой 2.]