6.7. ПОСТРОЕНИЕ СХЕМ ИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ КОДОВ ПРИ ...

Для нелинейного кода в случае мы не можем утверждать справедливость следствия 14. В этом случае мы можем доказать лишь более слабый результат.

Теорема 23. Пусть задан -код Если то кодовые слова веса в коде образуют схему

Доказательство. Пусть вектор веса Если то для кода полученного сдвигом, мы имеем:

представляет собой число кодовых слов веса которые покрывают . В силу (6.18)

и это число не зависит от выбора Если (т. е. то

В этом случае равно числу кодовых слов веса которые покрывают и поэтому

что также не зависит от выбора Итак, в любом случае число кодовых слов веса которые покрывают одно и то же для всех векторов веса и поэтому все кодовые слова веса образуют схему

Теорема 24. Если то все слова кода любого фиксированного веса образуют -схему.

Доказательство. Пусть вектор имеет вес По теореме 23 утверждение теоремы выполняется для кодовых слов веса Число кодовых слов веса которые покрывают вектор равно Так как по теореме 20 число не зависит от выбора то теорема верна для

Число можно представить в виде где равно числу кодовых слов веса которые покрывают равно числу кодовых слов веса которые покрывают точно единиц вектора Число определяется теоремой 23 и не зависит от выбора вектора Следовательно, также не зависит от выбора и поэтому теорема справедлива для Ясно, что мы можем продолжать и далее таким способом.

Теорема 24 слабее, чем следствие 14. Так, кодовые слова веса 8 в расширенном коде Голея образуют -схему (если воспользоваться следствием 14 или даже теоремой 9), но теорема 24 гарантирует только, что они образуют -схему.

Задача (нерешенная). (6.3). Усилить теорему 24 для нелинейных кодов.