18.9. МЕТОДЫ УКОРОЧЕНИЯ КОДОВ

18.9.1. КОНСТРУКЦИИ Y1-Y4

Пусть обозначает -двоичный код с проверочной матрицей Если информационных символов положить равными нулю, то получается -код. Мы можем улучшить эти параметры, если нам известно минимальное расстояние дуального кода В этом случае мы можем предположить, что первая строка матрицы имеет вес Если мы вычеркнем те столбцы матрицы у которых первая строка содержит единицы, то оставшаяся матрица имеет строку из нулей и представляет собой проверочную матрицу кода длины размерности с минимальным расстоянием по крайней мере (согласно теореме 10 гл. 1). Действительно, код состоит в точности из тех кодовых слов содержащих нули на всех позициях, где первая строка матрицы имеет единицы (причем эти позиции с нулями вычеркнуты). Короче говоря:

-код, дуальный к которому имеет расстояние

В § 1.8 был рассмотрен пример, где этот способ был использован для построения кода Нордстрома — Робинсона из кода Голея. Дальнейшие примеры приведены в работах Хашима [623], Хелгерта и Стинаффа [636, 637] и Слоэна и др. [1237]. На рис. ПА.2 коды, полученные таким способом, обозначаются буквой

Упражнения. (28). (а). Выбрать в качестве 9? расширенный -код БЧХ. Согласно упражнению (10) гл. 15 дуальный код имеет минимальное расстояние Получить отсюда код длины исправляющий две ошибки и с избыточностью

Код, дуальный к -коду из упражнения (21), имеет минимальное расстояние 4. Получить -код.

(29). Конструкция Предположим, что первая строка матрицы веса имеет вид и пусть подкод 5 состоит

из всех слов кода начинающихся с нулей. Таким образом, код представляет собой код 5 с вычеркнутыми первыми координатами. Обозначим через объединение кода 5 и всех смежных классов кода по коду лидеры которых имеют вид Показать, что если в множестве вычеркнуть первые координат, то в результате получится нелинейный

В качестве примера, учитывая, что код, дуальный к [31, 10, 12]-коду БЧХ, имеет минимальное расстояние получить -код.

Конструкция Аналогично, используя все смежные классы с лидерами веса 2 в этих позициях, получаем нелинейный

(Приложения см. в работе [1237].)

Упражнение. (30). Конструкция Пусть равно минимальному весу вектора

Показать, что вычеркивание соответствующих столбцов дает

Приложения приведены в работе [637].