11.3. ВЕСОВОЙ СПЕКТР КОДА МДР
Интересно, что весовой спектр Хэмминга кода МДР полностью известен.
Теорема 4. Пусть 
-код над 
Тогда представляет собой МДР код, если и только если в коде 
найдется слово минимального веса, ненулевые элементы которого занимают любые 
позиций.
Доказательство. (Необходимость.) Пусть заданы любые 
координат. Выберем в качестве информационных символов 
дополнительных координат и одну из заданных (это можно сделать согласно следствию 3). Полагая, что эта единственная координата равна 1, а остальные 
координат равны О, получаем кодовое слово веса 
Доказательство достаточности предоставляется читателю.
Следствие 5. Число кодовых слов веса 
в коде равно 
Код МДР имеет не более 
различных ненулевых весов, а именно 
а минимальное расстояние дуального кода равно 
Следовательно, по теореме 29 гл. 6 кодовые слова веса 
образуют 
-схему, которая, впрочем, по теореме 4 этой главы тривиальна.
Теорема 4 гл. 6 также определяет весовой спектр, но в этом случае легче воспользоваться уравнениями Мак-Вильямс в форме, приведенной в упражнении (6) гл. 5, а именно:
Так как 
выражение переписывается в следующем виде
Полагая 
получаем, что
Нетрудно догадаться (а затем проверить), что общее решение таково:
Итак, мы доказали следующую теорему.
Теорема 6. Число кодовых слов веса w в 
-коде МДР над полем GF(q) равно:
Заметим, что 
Это число должно быть неотрицательным, и поэтому справедлив следующий результат.
Следствие 7. Пусть 
-код МДР. Если то 
Если же 
, то 
Доказательство. Второе утверждение следует из рассмотрения весового спектра дуального кода 
Упражнения. (4). Доказать достаточное условие в теореме 4.
(5). Действительный код состоит из всех линейных комбинаций с действительными коэффициентами строк порождающей матрицы 
где 
действительные числа. Объяснить тот факт, что большинство подобных кодов являются кодами МДР.
Задача (нерешенная). (11.2). Что можно сказать о полной весовой функции (см. § 5.6) кода МДР или даже кода 
