Главная > Теория кодов, исправляющих ошибки
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

5.6. ОБОБЩЕННЫЕ ТЕОРЕМЫ МАК-ВИЛЬЯМС ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ КОДОВ

В этом разделе мы опишем несколько типов весовых функций для линейных кодов над произвольным полем где простое число. Обозначим через элементы поля выписанные в некотором фиксированном порядке.

Полная весовая функция. Рассмотрим вначале весовую функцию, которая классифицирует кодовые слова и в пространстве в соответствии с тем, сколько раз каждый элемент поля появляется в слове и.

Определение. Назовем композицией вектора и обозначим через -вектор где равно числу компонент равных Ясно, что

Пусть линейный -код над GF(q) и пусть число кодовых слов , имеющих композицию Тогда полная весовая функция кода определяется как многочлен

Например, пусть — троичный [4, 2, 3]-код из гл. 1. Его полная весовая функция равна

Характеры поля GF(q). Для формулировки теоремы нам необходимо ввести понятие характеров поля GF(q). Вспомним из гл. 4, что любой элемент поля GF(q) может быть представлен в виде или, что эквивалентно, в виде -вектора где примитивный элемент целые числа, причем —1.

Обозначим через комплексное число которое является примитивным корнем степени из единицы, т. е. и в то же время 1 для значений

Определение. Для любого элемента определим как комплексно-значное отображение элементов поля задаваемое формулой

где

Отображение называется характером поля GF(q). Упражнения. (24). Показать, что для всех выполняется равенство

(25). Показать, что равенство

справедливо для всех Таким образом, характер представляет собой гомоморфизм аддитивной группы поля GF(q) в мультипликативную группу комплексных чисел, модуль которых равен 1.

(26). Показать, что Для всех

Таким образом, множество всех характеров образует группу, которая изоморфна аддитивной группе поля GF(q).

Пример. Пусть поля имеется три характера:

Лемма 9. Для любого ненулевого элемента выполняется равенство

Доказательство. Ясно, что

Так как то хотя бы одно из не равно нулю, например Тогда множитель в выписанном произведении равен:

Пример. В поле при эта лемма утверждает, что

Для того чтобы сформулировать следующую теорему, мы должны выбрать какой-нибудь из характеров с Для определенности выберем т. е. характер задающий отображение

В случае, когда простое число, это отображение выглядит совсем просто где

Теорема Мак-Вильямс для полных весовых функций. Теорема 10. Если — линейный -код над GF(q) с полной весовой функцией то полная весовая функция дуального к нему кода определяется следующей формулой:

Пример. Для кода над эта теорема утверждает, что

где

Другими словами, многочлен получается применением линейного преобразования

к многочлену и делением результата на число Так, например, для кода приведенного выше, имеем:

Упражнение. (27). Показать, что является самодуальным кодом. Проверить это, доказав, что

Доказательство теоремы опирается на следующую лемму.

Лемма И. Для векторов пусть Так же как и в лемме 2, для отображения определенного на зададим его преобразование Адамара

Тогда, если представляет собой произвольный -код над то

Доказательство этой леммы в сущности ничем не отличается от доказательства леммы 2, но надо лишь воспользоваться леммой 9.

Доказательство теоремы 10. Положим Точно так же, как равенство (5.11) было выведено из (5.9), получим, что

Применяя теперь к лемму 11, получаем, что выражение (5.45) дает утверждение теоремы.

Весовая функция Ли. Если в полной весовой функции положить некоторые переменные равными друг другу, то мы получим весовые функции Ли и Хэмминга, которые дают меньше информации о коде, но с ними проще работать.

Определение. Предположим теперь, что число степень простого нечетного числа и элементы поля обозначены так, что выполняется условие для Так, например, для имеем

Назовем композицией Ли вектора и обозначим через вектор где для

Например, для значения композиция Ли классифицирует кодовые слова в зависимости от того, сколько компонент слова равно 0, сколько равно ±1 и сколько равно ±2.

Весовая функция Ли кода определяется как многочлен

Так, например, самодуальный код длины 2 над состоящий из кодовых слов имеет весовую функцию Ли

Теорема Мак-Вильямс для весовых функций Ли. Теорема 12. Весовая функция Ли дуального кода получается из весовой функции Ли кода заменой каждой переменной на выражение

и последующим делением результата на 11.

Доказательство. В теореме 10 положим для

Для кода из предыдущего примера получаем, что где и преобразование теоремы 12 заключается в замене

Так как код самодуален, то теорема утверждает, что справедливо тождество

Упражнение. (28). Проверить это тождество непосредственно.

Весовая функция Хэмминга. Пусть теперь степень любого простого числа. Как и в § 1.3, весом Хэмминга (или просто весом) вектора назовем число ненулевых компонент и обозначим это число через Мы будем использовать обозначения § 5.2, пусть число кодовых слов веса и многочлен

является весовой функцией Хэмминга кода

Теорема Мак-Вильямс для весовых функций Хэмминга.

Теорема 13.

Доказательство. В теореме 10 положим и воспользуемся леммой 9.

Пример. Для кода из рассматриваемого нами примера весовая функция Хэмминга и теорема утверждает, что справедливо тождество

Для случая теорема 13 превращается в теорему 1.

Весовая функция, полностью описывающая код. Код можно описать полностью, если ввести достаточное количество переменных. Поясним это примером. Предположим, что Вектор зададим с помощью многочлена . В общем случае переменная означает, что координата вектора и равна элементу со, поля Тогда вектор задается многочленом

Таким образом, вектор и однозначно определяется многочленом Для такого способа описания требуется переменных (Это аналогично тому, что мы делали в § 5.3 для двоичных кодов.)

Назовем точной весовой функцией кода многочлен

Теорема Мак-Вильямс для точных весовых функций. Теорема 14. Точная весовая функция дуального кода получается из функции заменой каждой переменной на выражение

и последующим делением результата на

Доказательство. Достаточно применить лемму 11 к отображению определяемому (5.48).

Теорема 14 представляет собой очень общую формулировку теоремы Мак-Вильямс, и, конечно, все предыдущие теоремы следуют из нее. В оставшейся части этого раздела мы приведем еще несколько следствий, дающих информацию о весовой структуре некоторых подмножеств позиций кодовых слов.

Совместные весовые функции. Совместная весовая функция двух кодов сравнивает перекрытие нулевых позиций в типичном слове кода и типичном слове кода Это обобщение весовой функции Хэмминга подобно обобщению плотности одномерного распределения на случай плотности совместного распределения. Для простоты мы рассмотрим только двоичный случаи, когда

Для векторов введем следующие обозначения:

Ясно, что

Определим совместную весовую функцию кодов как многочлен

Совместная весовая функция кода с самим собой называется бивесовой функцией кода

Упражнения. Установить следующие свойства совместных весовых функций.

Весовые функции отдельных кодов задаются выражениями:

Кроме того, справедливо равенство

(30). Если -код с повторением длины то

Если , а код произволен, то

Если код произволен, а код состоит из всех вектор длины то

Если код произволен, а представляет собой код из всех слов четного веса, то

(33). Показать, что для симплексного -кода, являющегося дуальным к коду Хэмминга, при справедлива формула

(34). Показать, что для -кода Хэмминга при справедлива формула

где символ а с нижними индексами обозначает различные симметрические функции от

(35). Показать, что для -кода Рида — Маллера первого порядка при справедливо равенство

(36). Чтобы подчеркнуть, что бивесовая функция дает больше информации о коде, чем обычная весовая функция, показать, что

коды, порожденные словами имеют одинаковые весовые, но различные бивесовые функции. Другую такую пару кодов составляют [32, 16, 8]-код Рида-Маллера второго порядка и квадратично-вычетный код с теми же параметрами (см. гл. 19).

Разделенная весовая функция. Во многих кодах векторы естественным образом разделены на левую и правую половину. К таким кодам относятся, например, коды, образованные конструкцией типа (см. § 2.9), коды Рида-Маллера и коды, полученные из них (см. гл. 13 и 15). Для таких кодов полезно следить за весами обеих половин раздельно.

Для вектора назовем величины левым и правым весом соответственно. Введем для -кода разделенную весовую функцию как многочлен

Упражнения. (37). Пусть и коды длины с весовыми функциями и разделенными весовыми функциями Показать, что код, являющийся их прямой суммой,

имеет весовую функцию и разделенную весовую функцию . С другой стороны, код каждый из векторов разбит на две равные половины) имеет ту же самую весовую функцию, но другую разделенную весовую функцию Заметим, что код может быть получен из кода 3) перестановкой позиций кодовых слов. Так, например, возьмем коды для которых

Тогда разделенные весовые функции кодов

равны соответственно и

(38). Доказать, что

(39). Выписать разделенную весовую функцию для кодов Рида-Маллера первого порядка.

(40). Пусть — линейный код длины предположим, что первые символов каждого кодового слова посылаются по двоичному симметричному каналу с вероятностью ошибки , а

последние символов — по такому же каналу с вероятностью Пусть

где минимум берется по всем ненулевым словам и из кода

Показать, что код может исправлять все ошибочные векторы удовлетворяющие условию

(Если разделенная весовая функция кода известна, то число может быть легко найдено.)

1
Оглавление
email@scask.ru