16.8. КВАДРАТИЧНО-ВЫЧЕТНЫЕ И СИММЕТРИЧНЫЕ КОДЫ НАД GF{3)

Примеры расширенных КВ-кодов над приведены на рис. 16.2. Длина этих кодов равна или (согласно нижеследующему упражнению (25)), а все веса кратны 3 (теорема 8). Первым из них является код Голея (см. с. 465). Минимальные расстояния кодов [24, 12, 9], [48, 24, 15] и [60, 30, 18] были найдены на вычислительной машине. Как будет показано в гл. 19, эти расстояния являются максимально возможными для самодуальных кодов над

Симметричные коды Плесс. Эти коды являются дважды циркулянтными над (см. рис. 16.8).

Определение. Пусть простое число, сравнимое с —1 по модулю 6, и пусть следующая -матрица

(строки и столбцы которой перенумерованы числами

где если если циркулянтная матрица, первая строка которой содержит 0 в нулевом столбце, 1 в столбце, номер которого является квадратичным вычетом по модулю и —1 в столбце, номер которого является квадратичным невычетом по модулю Тогда симметричный код Плесс определяется как -код над порождающая матрица которого равна матрице где I — единичная -матрица.

Пример. При порождающая матрица кода равна

Упражнения. (18). Доказать, что код эквивалентен коду Голея (19).

(i). Доказать, что (над ).

(ii). Доказать, что если то а если то

Теорема 17. Код является самодуальным, и все веса кода кратны 3.

Доказательство. Вытекает из упражнения (19).

Примеры. Параметры первых пяти симметричных кодов равны

Весовые функции кодов совпадают с весовыми функциями Хэмминга расширенных КВ-кодов с теми же параметрами (см. гл. 19), однако эти коды неэквивалентны (упражнение

(20)). Отметим, что для всех пяти кодов минимальное расстояние равно что является максимально возможным в данном случае (см. гл. 19). К сожалению, для следующего -кода известно, что 21.

Теорема 18. Группа автоморфизмов кода содержит следующие мономиальные преобразования: если — слово кода то кодовыми словами являются также

где преобразования, определенные в теореме 9.

Следовательно, содержит подгруппу, изоморфную группе

Рис. 16.8. Свойства симметричных кодов Плесс

Упражнения. (20). Используя теоремы 12 и 13, доказать, что при коды 9? и неэквивалентны. [Указание.

(21). Доказать, что любой расширенный или симметричный код длины над содержит по меньшей мере слов веса На самом деле, имеется эквивалентный код, содержащий строки матрицы Адамара порядка и их отрицания.

Рис. 16.9. -схемы, полученные из кодов

Задача (нерешенная). (16.8). Как растет с минимальное расстояние кода -схемы. Применение результатов гл. 6, в частности теоремы 9 и следствия 30, к кодам (16.62) и кодам, приведенным на рис. 16.2, позволило построить несколько -схем. Параметры этих схем были вычислены с помощью весовых функций соответствующих кодов (найденных в гл. 19) и приведены на рис. 16.9. Например, вторая строка рисунка означает, что слова весов 8, 12, 16 и 24 в двоичном расширенном [24, 12, 8]-коде Голея образует -схемы, первой из которых является схема 5-(24, 8, 1) (в соответствии с теоремами 24—26 гл. 2) (см. также приведенную ниже формулу (16.67)).