11.6. n-МНОЖЕСТВА

Между кодами МДР и конечными геометриями имеется глубокая связь. Из следствия 3 мы видим, что задачу построения -кода МДР можно рассматривать как геометрическую задачу нахождения множества из точек конечной проективной геометрии (см. приложение В), любые точек которого линейно независимы, т. е. множества никакие точек которого не лежат в одной гиперплоскости. Координаты этих точек представляют собой столбцы порождающей матрицы

Например, столбцы матрицы (11.2) состоят из точек проективной плоскости никакие три из которых не лежат на одной прямой.

Определение. Множество точек проективной геометрии называется -множеством, если никакие точек этого множества не лежат в одной гиперплоскости где Например, матрица (11.2) определяет -множество в

Таким образом, другой вариант нашей открытой проблемы выглядит так.

Задача (нерешенная). ( Для заданных найти наибольшее значение для которого существует -множество в проективной геометрии

Этой геометрической задаче посвящено много работ, но мы ограничимся только одной теоремой.

Теорема 11. Если нетривиальный над полем нечетное, то Или, что эквивалентно, для любого -множества проективной геометрии нечетное, справедливо неравенство

Доказательство. Пусть -порождающая -матрица кода Обозначим через строки матрицы и через С—множество точек в координатами которых являются столбцы матрицы Пусть произвольная точка

Ясно, что гиперплоскость, определяемая условиями пересекается с множеством С в тех точках, для которых Следовательно, вес первой строки матрицы равен разности между и числом точек, в которых гиперплоскость пересекается с С. Аналогично вес кодового слова кода равен разности между и числом точек, в которых гиперплоскость, определяемая условием пересекается с С.

Из следствия 7 мы знаем, что Предположим теперь, что тогда и множество С пересекается с гиперплоскостями геометрии или 0 точек (но не в точках, так как нет кодовых слое веса

Рассмотрим гиперплоскость, которая содержит точек из С, например, точки Пусть 2 — подпространство лежащее в этой гиперплоскости и содержащее точки Любая гиперплоскость, проходящая через должна пересекаться с С в 2 или 0 других точек. Обозначим через число гиперплоскостей, пересекающихся с С в двух других точках. Объединение всех гиперплоскостей, проходящих через представляет собой и поэтому оно, конечно, содержит все точки С. Следовательно, или что противоречит нечетности q.