13.2. Метод возмущений

Некоторые элементы представляют собой помещенные в волновод или линию удлиненные пластинки и стержни из диэлектрика или магнитодиэлектрика с малым относительным поперечным сечением. Они не создают заметных отражений, а лишь незначительно изменяют (возмущают) поле в волноводе. Приближенный метод определения коэффициента распространения волны в волноводе с таким элементом называют методом возмущений.

Назовем невозмущенным однородный волновод сечением заполненный воздухом Обозначим поля и коэффициент распространения в этом волноводе через В каждой точке волновода справедливы уравнения Максвелла (3.14). Представим оператор Гамильтона в виде суммы Тогда, например, Следовательно, для поля в невозмущенном волноводе:

Теперь внесем в волновод элемент: пластину или стержень из вещества с параметрами и поперечным сечением постоянным по всей ее длине. Поле в таком возмущенном волноводе будет отличаться от первоначального. Обозначим его компоненты , а новый коэффициент распространения у. По аналогии с ф-лами (13.1) и (13.2) запишем:

Умножим уравнение, комплексно-сопряженное (13.1), на а ур-ние (13.3) — на Из полученной суммы вычтем другую сумму, составленную из произведения Н на уравнение, комплексно-сопряженное (13.2), и произведения на ур-ние (13.4). Полученное уравнение проинтегрируем по объему волновода V длиной содержащего элемент. Пусть этот объем состоит из областей с различными параметрами заполняющей среды. Тогда

К первому интегралу применим известное тождество (4.12), с учетом того, что для операций в поперечной плоскости Затем заменим объемный интеграл от дивергенции «а интеграл поверхности охватывающей объем V:

где векторы неизменны по оси так как дивергенция определялась только в поперечной плоскости. Считаем стенки волновода идеально проводящими, тогда интеграл но боковым поверхностям равен нулю; интегралы по двум поперечным сечениям волновода при равны по величине и противоположны по знаку. Следовательно, в целом первый интеграл в выражении (13.5) равен нулю.

Во втором интеграле (13.5) изменим порядок сомножителей в векторно-скалярном произведении. В правой части этого выражения взаимно уничтожаются одинаковые интегралы по объему В результате приходим к соотношению:

Устремив сведем интегрирование по объемам к интегралам по поперечным сечениям и До сих пор условие малости возмущения не использовалось. Теперь будем считать, что сечение внесенного элемента и вне этого сечения практически Тогда внесение элемента не меняет заметно мощности переносимой волноводом, и первый интеграл в (13.6) по 5 равен В этом случае получаем

Изменение коэффициента распространения в волноводе связано с изменением электрической и магнитной проницаемостей в сечении простым соотношением. Поле в невозмущенном волноводе известно. Поле же внутри элемента определяется при помощи граничных условий с учетом того, что вне элемента оно остается неизменным.

Методом возмущений нельзя пользоваться на частотах, близких к критической, или при большом поглощении в пластине, если толщина скин-слоя не превышает ее толщины. В обоих этих случаях внесение элемента значительно изменяет поле в волноводе.