ТЕОРЕМА ПОЙНТИНГА ДЛЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЗНАЧЕНИЙ

Вывод уравнений сохранения энергии для монохроматического поля проводится на базе основных ур-ний (3.13) аналогично предыдущему. Второе ур-ние (3.13) умножается скалярно на Н (магнитные потери не учитываются). Вектор Е умножается почленно на уравнение, комплексно-сопряженное с первым ур-нием (3.13), в котором заменяется по ф-ле (3.8); при этом меняется на Затем из первой строчки вычитается вторая:

или с учетом тождества Применив ф-лы (4.15), (4.19), (4.21) - (4.24) и обозначив получим

Это комплексное уравнение разделим на вещественную и мнимую части, имея в виду, что Вещественная часть представляет собой дифференциальную форму теоремы Пойнтинга для средних мощностей монохроматического поля:

Для произвольного объема V, ограниченного поверхностью справедлива интегральная форма этого уравнения:

Мощность, получаемая монохроматическим полем в некотором объеме от сторонних сил, равна в среднем сумме мощности излучения из этого объема и мощности потерь. Сравнив и (4.27) с (4.6) и (4.7), обнаружим отсутствие слагаемого, соответствующего изменению запаса энергии в рассматриваемом объеме. Это объясняется тем, что в гармонически изменяющемся поле средняя объемная плотность энергии в каждой точке неизменна, так как в каждой точке напряженности поля периодически принимают одни и те же значения.

Уравнение баланса электромагнитной энергии для мнимых частей (4.25) в дифференциальной форме записывается как

.а в интегральной форме как

Реактивный поток энергии через границу области (в среднем он равен нулю) появляется в том случае, если внутри этой области средние за период запасы магнитной и электрической энергии не равны между собой, либо сторонние силы имеют реактивную составляющую мощности В зависимости от знака разности реактивный поток носит магнитный («индуктивный») или электрический («емкостный») характер.

Показательно сравнение ур-ний (4.27) и (4.29) с аналогичным соотношением для комплексной мощности 5 в щеми переменного

тока где выражение в скобках соответствует разности магнитной энергии индуктивности и электрической энергии конденсатора.

В качестве примера рассмотрим применение теоремы Пойнтинга (4.27) к различным областям линии радиосвязи (рис. 4.5).

Рис. 4.5

Область 1 включает радиопередающую антенну. Здесь тепловые потери значительно меньше, чем мощность сторонних сил запас электрической и магнитной энергии в поле вокруг антенны в среднем постоянен. Избыток энергии выходит за границы области в виде электромагнитного излучения, поэтому Область 2 в промежуточной части пространства не содержит сторонних сил тепловые потери в атмосфере приводят к тому, что входящий в эту область «отрицательный» поток электромагнитной энергии несколько больше, чем «положительный» выходящий поток поэтому поток и равен величине Область 3 включает приемную антенну, которая отбирает часть мощности от проходящей волны и передает ее приемнику. Поэтому здесь, кроме тепловых потерь в среде и материале антенны, имеются потери за счет преобразования части энергии свободно распространяющейся волны в энергию волны, передаваемой по фидеру от антенны к приемнику. Поток и равен по модулю сумме этих потерь,