12.2. Круглый диэлектрический волновод

РЕШЕНИЕ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ

Диэлектрический стержень 1 радиуса а, окруженный диэлектриком с меньшим коэффициентом преломления или воздухом 2, является самым простым по форме волноводом поверхностной волны (рис. 12.1). Структура поля и параметры волн в волноводе определяются дисперсионным уравнением, для получения которого необходимо решить граничную задачу: найти уравнения полей в каждой из сред, удовлетворяющие волновым уравнениям, и затем связать их между собой условиями на границе между средами. Потери в средах на этом этапе решения не учитываются.

Рис. 12.1

Распределение продольных компонент поля. Волновое ур-ние (8.5) для любого круглого волновода, как было показано в 9.5, распадается на гармоническое ур-ние (9.37) и уравнение Бесселя (9.39). Решение для поля внутри стержня записывается в виде, аналогичном ф-лам (9.42), (9.44):

где и — продольные компоненты при Замена на непринципиальна, она соответствует повороту поля по азимуту на угол Оба выражения разделены на постоянную величину для удобства последующих преобразований. Поперечный коэффициент связан с параметрами среды соотношением (12.4).

В наружной среде 2 должны удовлетворяться волновые ур-ния (12.2), которые в цилиндрической системе координат распадаются на гармоническое ур-ние (9.37) и модифицированное уравнение Бесселя:

Это уравнение получается из уравнения Бесселя (9.39) заменой по (12.3) на и отличается от него лишь знаком при одном из слагаемых. Общее решение модифицированного уравнения — сумма двух модифицированных цилиндрических функций их графики приведены на рис. 12.2.

Рис. 12.2

Быстро растущая функция соответствует полю, неограниченно возрастающему при удалении от оси волновода. Такое поле не может принадлежать направляемой волне вне стержня, у которой вся (или почти вся) энергия должна проходить через поперечное сечение конечных размеров.

Функция Макдональда при больших аргументах уменьшается быстрее, чем по экспоненте:

Поэтому описываемое ею поле на определенном расстоянии от оси волновода практически равно нулю. Это решение соответствует направляемой волне. По аналогии ф-лами (12.11) запишем:

где удовлетворяет ур-нию (12.4).

Выражения (12.12) и (12.14) для продольных составляющих поля удовлетворяют волновому уравнению, а (12.14) также условиям на бесконечности.

Граничные условия. Следующий этап в решении задачи — установление связей между полями по обе стороны границы в соответствии с граничными условиями (2.24), (2.25). Равенство продольных компонент касательных к границе, уже было учтено при записи соотношений (12.12) и (12.14).

По перечные компоненты поля определяются через продольные соотношениями (8.9) и (8.10), которые в цилиндрической системе координат записываются в виде:

где имеют в каждой среде свои значения.

Взаимосвязь между составляющими поля в волноводе и параметрами среды исключает необходимость наложения граиичных условий на все компоненты. Достаточно приравнять тангенциальные составляющие (в цилиндрической системе координат Соотношение для нормальных компонент выполняется тогда автоматически.

Существование в волноводе волн класса Е пли Н не всегда возможно, так как граничные условия для этих волн в общем случае не удовлетворяются. Действительно, -волны Очевидно, что производные при одинаковы в обеих средах. Тогда равенство по обеим сторонам границы требует, чтобы а это для разных сред невозможно. Только при производные по углу равны нулю и граничное условие оказывается выполнимым.

Волны классов диэлектрическом волноводе существуют только при условии аксиальной симметрии поля Все несимметричные волны гибридные (классы ЕН и НЕ), т.е. содержат обе продольные составляющие

Решая задачу для общего случая, подставляем в ф-лы (12.15) равенства (12.11) и (12.14), считая и используя обозначения (12.3), (12.5). Для упрощения выкладок образуем новые вспомогательные функции:

Приравнивая и при получаем следующие соотношения:

Вывод дисперсионного уравнения. Систему двух алгебраических ур-ний (12.17) можно переписать, сгруппировав коэффициенты перед каждым неизвестным

В результате получим однородные уравнения, система которых имеет нетривиальные (ненулевые) решения только в том случае, если определитель из коэффициентов перед равен нулю:

где волновое сопротивление внешней среды. Дисперсионное уравнение (12.18) устанавливает связь между поперечными коэффициентами, необходимую для существования волны в данном волноводе. Для его упрощения установим следующее равенство коэффициентов, воспользовавшись ф-лой (12.7):

Раскрывая определитель (12.18), получаем дисперсионное уравнение для диэлектрического стержневого волновода в наиболее удобной форме:

ТИПЫ ВОЛН В ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ВОЛНОВОДЕ

Отн ошение продольных составляющих (максимальных при данном для каждой из волн диэлектрического волновода является определенной функцией частоты. Оно характеризует структурные особенности поля данной волны и равно отношению коэффициентов в любой строчке определителя

Дисперсионные кривые. а внешне (12.19) трансцендентно; поэтому зависимости между и -дисперсионные кривые определяются численным методом. Вид этих кривых зависит от значений и а также от (периодичности структуры поля по азимуту. Кривая для каждого распадается на беаконечный ряд ветвей, каждой из которых соответствует определенная волна. На рис. 12.3 показано несколько дисперсионных кривых, вычисленных по уравнению (12.19) при На них указаны типы волн.

Первый индекс в наименовании волны, как и в круглых металлических волноводах, соответствует периодичности поля по

и определяет порядок функций Бесселя и Макдональда. Второй индекс равен номеру корня функции Бесселя в точке, где начинается соответствующая ветвь характеристической кривой; ориентировочно соответствует числу полуволн поля стоячей волны в диэлектрическом стержне, укладывающихся вдоль радиуса а.

Рис. 12.3

Волны с осевой симметрией толя. Второе слагаемое в ур-нии (12.19) при равно нулю; в этом случае уравнение удовлетворяется при равенстве нулю любого из выражений в квадратных скобках.

-волны соответствуют условию:

тогда, согласно (12.20), следовательно, -волны определяются уравнением:

в этом случае

Несимметричные волны -гибридные. Ни одно из выражений в скобках (12.19) в этом случае не равно нулю, поэтому в (12.20) конечно, т. е. существуют обе продольные составляющие поля отношение их величин несколько меняется с частотой.

Дисперсионное уравнение при каждом имеет два решения, которым соответствуют два класса гибридных волн. Для одной из них при согласно ф-ле (12.20), . Для диэлектрического волновода из полиэтилена или полистирола, находящегося в воздухе т. е. меньше, чем в однородной волне в воздухе. Относительное преобладание над приводит к обозначению для волн этого класса. Волны другого класса имеют обозначение , так как у них относительная величина больше:

Определение поперечных коэффициентов на каждой частоте требует совместного решения дисперсионного уравнения (12.19) и уравнения поперечных коэффициентов (12.6). Последнее представляет собой на плоскости окружность радиуса На заданной частоте значения данной волны представляются графически как координаты точки пересечения соответствующей ветви (рис. 12.3) с этой окружностью.

Основная волна типа . Первая ветвь кривой для на рис. 12.3 начинается три в нулевом карие функции Бесселя первого порядка; поэтому и соответствующая волна именуется Структура поля этой волны показана на рис. 12.4. Магнитные линии в горизонтальной плоскости имеют такую же структуру, как электрические в вертикальной.

Рис. 12.4

Внутри диэлектрического стержня структура поля шпоминает волну типа Н в круглом металлическом волноводе, поэтому в литературе ее называют также

Так как параметры волны в круглом стержне одинаковы при вращении поля вокруг продольной оси, волна поляризационно вырождена, плоскость ее поляризации неустойчива. Это вырождение снимается, если перейти от круглого к эллиптическому или прямоугольному сечению (рис. 12.5а, б) или использовать так называемый зеркальный диэлектрический волновод.

Рис. 12.5

В последнем половина стержня наклеена на металлическую пластину, которая служит одновременно конструкцией крепления (рис. 12.5в). Недостатком зеркального волновода является повышенное затухание волны из-за дополнительных потерь в пластине.

ПАРАМЕТРЫ ВОЛНЫ ...

Граничный (радиус поля в круглом диэлектрическом волноводе (аналогичный граничному расстоянию при плоской границе) определим равенством

Напряженность поля во внешней среде убывает при удалении от границы стержня пропорционально значениям функции Макдональда Вблизи стержня при малых аргументах эта функция уменьшается относительно медленно:

На больших расстояниях от него в соответствии с (12.13) она уменьшается быстрее, чем по экспоненциальному закону.

Границей зон медленного и быстрого спадания поля можно считать окружность радиуса на которой по аргумент функции Макдональда Интегрированием вектора Пойнтинга по поперечному сечению волновода можшо установить, что внутри граничного радиуса проходит значительная часть всего потока энергии

Граничная частота в волноводах поверхностной волны определяется при (ем. параграф 8.5), когда поверхностная волна переходит в ненаправляемую плоскую однородную волну. Для основной волны при также следовательно, теоретическая частотная граница волны равна нулю.

Нижняя частота рабочего диапазона устанавливается по следующим соображениям. Граничный радиус поля должен быть очень велик. Разумной границей здесь является т. е. Другим критерием служит замедление волны. Требование, чтобы фазовая скорость была меньше хотя бы на 0,1%, приводит (при к условию: Для диэлектрического волновода определяющим является второе условие, которое при выполняется для Абсолютное значение нижней частоты

Для стержня радиуса см, находящегося в воздухе, ; граничный радиус поля см.

Верхняя частота рабочего диапазона основной волны устанавливается из условия одномодовости. Как видно из рис. 12.3, ближайшие волны обладают круговой симметрией поля и имеют граничную частоту (первый корень функции

Распределение мощностей. Поток энергии, передаваемый по волноводу, распределяется между диэлектрическим стержнем и окружающей средой. Интегрируя вектор Пойнтинга по поперечному сечению каждой из этих областей, получаем

С ростом частоты концентрация поля в стержне увеличивается, поэтому отношение мощностей из меняется от нуля на граничной частоте до бесконечности на очень высоких частотах. Общая мощность волны в волноводе

Энергетическая скорость волны в соответствии с законом парциальных мощностей (8.36) определяется величиной учетом обозначений (12.3) она выражается как

В системах с нормальной дисперсией энергетичеокая и групповая и скорости равны между собой. Из сравнения ф-л (12.10) и (12.26) следует, что равны между собой также крутизна квадратичной дисперсионной кривой и отношение мощностей

Расчеты, проведенные для диэлектрического и других волноводов, состоящих из нескольких разнородных материалов, подтвердили равенство Это упрощает расчет параметров диэлектрических сол поводов.

Коэффициент затухания. В волноводе существуют только диэлектрические потери. Если волновод состоит из двух слоев диэлектрика с одинаковыми углами потерь, к «ему применима формула вида (8.42):

Этот случай характерен для стеклянных двухслойных волокон, применяемых в оптическом диапазоне.

Существенный выигрыш по затуханию можно получить, если диэлектрический стержень расположен в воздухе, так как диэлектрические потери в воздухе на несколько порядков меньше, чем в диэлектрике.

Потери пропорциональны части мощности волны, передаваемой внутри стержня. Поэтому коэффициент затухания в первом приближении определяется соотношением (8.42), умноженным на отношение мощностей

Из полученной формулы следует, что для снижения коэффициента затухания поля мощность распространяющейся внутри стержня волны должна быть уменьшена. Это соответствует малым концентрациям поверхностной волны и низким частотам. Если принять то с учетом определенного ранее значения найдем оптимальный диапазон работы диэлектрического волновода в воздухе:

Допустимая мощность диэлектрического волновода довольно велика, так как волна распространяется широким волновым пучком, диаметр которого имеет порядок Напряженность поля максимальна на границе стержня с воздухом и ее величина определяет предельную мощность по электрической прочности. Для

оптимального диапазона

Номинальная мощность определяется допустимым «агревом диэлектрика и, следовательно, обратно пропорциональна коэффициенту затухания. В том же диапазоне

В качестве примера отметим, что допустимая мощность для диэлектрического стержня (радиусом см на частоте при составляет несколько мегаватт.

Частотные характеристики основных параметров волны типа в диэлектрическом волноводе, находящемся в воздухе приведены на рис. 12.6. При малых нормированных частотах концентрирующее действие стержня невелико. Поэтому напряженность поля почти не убывает с расстоянием и структура волны весьма близка к плоской однородной волне типа ТЕМ. Соответственно ее скорости практически не отличаются от с, а Этот режим правильнее считать свободным распространением волны. При изгибе стержня волна не следует за ним, а продолжает движение в первоначальном направлении.

Рис. 12.6

В оптимальном диапазоне энергии в среднем за период распространяется внутри стержня (другими словами, парциальная волна, например, 10% времени распространяется внутри стержня и 90% времени вне его). Поле достаточно сильно сконцентрировано вокруг стержня, так что граничный радиус ; поэтому не очень крутые изгибы стержня не приводят к потере направляемой волны. В то же время кривые для свидетельствуют о том, что дисперсия волны мала, а кривая показывает, что ее коэффициент затухания в раз меньше, чем у ТЕМ-волны, распространяющейся в таком же диэлектрике (см. ф-лу (8.43)].

При дальнейшем повышении частоты доля потока энергии внутри стержня резко возрастает. В соответствии с этим уменьшаются скорости и увеличивается коэффициент затухания. На высоких частотах при и поверхностная волна в воздухе уже не играет никакой роли в переносе энергии. При этом а фазовая и групповая скорости изменяются таким же образам, как и в полом металлическом волноводе на частотах, значительно больших критической. Фазовая скорость а групповая и обе стремятся к при повышении частоты. Несмотря на

различие условий на границах, наблюдается сходство а частотных характеристиках в диэлектрическом и металлическом волноводах, так как в обоих случаях картины движения (парциальных волн, распространяющихся практически только в одной среде, одинаковы.

Рассмотренные частотные зависимости характерны для большинства волноводов поверхностной волны, так как физические процессы в них аналогичны.

Приближенные формулы для волны типа Расчет параметров диэлектрического волновода включает вычисление сложных функций вида (12.16) и требует совместного решения ур-ний (12.8) и (12.19) методом итераций. Здесь трудно обойтись без вычислительных машин. Однако в оптимальном диапазоне и на более низких частотах допустимо использовать асимптотические выражения для цилиндрических функций малого аргумента, что приводит к приближенному дисперсионному уравнению (при :

Оно решается совместно с ур-нием (12.6). По найденным значениям определяется фазовая скорость (12.8) и фазовый коэффициент (12.7).

Отношение мощностей и равная ей величина

Групповая и равная ей энергетическая скорость находятся по ф-ле (12.10) или (12.26). Коэффициент затухания