4.6. Теорема единственности

Методы решения задач электродинамики, основанные на рассмотренных выше уравнениях, могут быть различными. Однако решение, полученное каким-либо способом, единственно, т. е. электромагнитное поле определяется однозначно по заданному распределению источников.

Рис. 4.6

Содержанием теоремы единственности является формулировка минимального числа дополнительных условий, при которых задачи электродинамики решаются единственным образом, и доказательство единственности решения при этих условиях. Ограничимся рассмотрением периодических решений — монохроматических полей.

Внутренняя задача. Пусть область пространства (рис. 4.6), в которой ищется решение, ограничена изнутри поверхностью а извне — поверхностью может отсутствовать, возможно также несколько внутренних границ

Тогда справедлива следующая теорема: монохроматическое электромагнитное поле в определенной ограниченной области V определяется однозначно, если:

— в каждой точке области среда обладает либо электрическими, либо магнитными потерями либо величина этих потерь может быть весьма мала;

— заданы источники в этой области;

— заданы значения тангенциальной составляющей электрического или магнитного вектора на границе этой области (краевое условие). Заметим, что физически краевое условие определяется теми источниками поля, которые расположены вне рассматриваемой области.

Докажем эту теорему способом от противного. Предположим, что заданному распределению сторонних источников и касательных составляющих на поверхности отвечают два решения Уточним, что на границе требуется совпадение либо либо либо на части поверхности должны совпадать а на остальной части

Исследуем разностное поле К этому полю энергия от источников не поступает, так как сторонние силы для полей одинаковы и для разностного поля исчезают Невозможно также и поступление энергии через границы объема [см. ф-лы (4.3), (4.16), (4.27)]: так как условию в любой точке границы либо либо Следовательно, теорема Пойнтинга (4.27) для разностного поля примет вид (мощность потерь в поле равна нулю). Так как среда в каждой точке объема V имеет потери, например, электрические, разностное электрическое поле в любой точке внутри поверхности должно быть равно нулю. Из уравнений Максвелла (3.14) получаем, что разностное магнитное поле также равно нулю. Если в среде имеются только магнитные потери, то вначале доказывается, что а затем, что

Итак, в замкнутом объеме V, заполненном средой с потерями, периодическое поле не может существовать, если отсутствуют сторонние источники этого поля и электромагнитная энергия через границы этого объема не подводится; что и доказывает сформулированную ранее теорему.

Физически очевидно, что при отсутствии потерь в среде возможно существование свободных незатухающих колебаний с полем , не связанных с источниками и удовлетворяющих условию на Идеально проводящей границе. В этом случае решение внутренней задачи становится неоднозначным.

Внешняя задача. Пусть рассматриваемое пространство неограниченно, т. е. внешней границы на рис. 4.6 не существует. Это эквивалентно тому, что представляет собой сферу бесконечно большого радиуса Тогда справедлива следующая теорема: монохроматическое электромагнитное поле определяется в безграничной области однозначно, если:

— в каждой точке пространства среда обладает либо электрическими, либо магнитными потерями;

— заданы источники в этой области;

— заданы значения тангенциальной составляющей электрического или магнитного вектора на внутренней границе области;

— все источники находятся на конечном расстоянии от начала координат;

— поля убывают на бесконечности быстрее, чем

Последнее условие запишем следующим образом:

где некоторое положительное число, а положительные постоянные.

Заметим, что первые три условия совпадают с соответствующими условиями для внутренней задачи. По доказанному ранее для разностного поля равны нулю: мощность сторонних сил (по второму условию) и мощность волны, поступающей в рассматриваемую область через внутренние границы (по третьему условию). Рассмотрим мощность волны, проходящей через сферу бесконечно большого радиуса охватывающую по четвертому условию все сторонние источники поля. Из вытекает следующая оценка для разностного поля: Таким образом, три Итак, И снова что приводит к нулевому разностному толю Следовательно, получение двух различных решений невозможно.

Физический смысл пятого условия заключается в том, что допускается лишь решение в виде расходящихся от источников сферических волн. Такие волны удовлетворяют принципу причинности явлений: причина опережает следствие. Поля вначале появляются у источников, а затем, с запозданием, в удаленных точках; волны распространяются от источников. Плотность мощности волн со сферическим фронтом при отсутствии поглощения в среде по закону сохранения энергии уменьшается обратно пропорционально площади сферы т. е. следовательно, напряженности полей В поглощающей среде расходящихся волн убывает быстрее, чем т. е. по закону (4.37).

Формально уравнения электродинамики допускают также решение в виде сферических волн, сходящихся к источнику. Такие волны физически нереальны, так как нарушают принцип причинности. Поле сходящихся (опережающих) волн в среде с поглощением изменяется медленнее, чем Пятое условие исключает из рассмотрения опережающие волны, а также любые плоские волны, проходящие в произвольных направлениях сквозь рассматриваемое пространство, так как они экспоненциально убывают в направлении своего распространения и экспоненциально возрастают в обратном направлении, что противоречит указанному условию.

Принцип причинности можно ввести в уравнения электродинамики иным способом, не прибегая к предположению о затухании волны. Заменим (4.37) условиями излучения: электромагнитное поле на бесконечности должно иметь вид сферических волн, расходящихся от источников и зависящих от по закону:

Так как при отсутствии потерь Следовательно, мгновенные значения поля пропорциональны Это условие также исключает из рассмотрения плоские и сходящиеся волны, которым соответствует положительный знак в экспоненте перед

Найденное любым способом решение корректно поставленной электродинамической задачи (условие должно содержать все вышеперечисленные пункты) отвечает действительному распределению поля, и никакого другого решения быть не может.

ЗАДАЧИ

(см. скан)