2.3. Циркуляция магнитного поля. Обобщенный закон Ампера

ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМА

Циркуляция вектора напряженности магнитного поля Н по любому замкнутому контуру (магнитодвижущая сила) равна сумме истинного электрического тока и тока смещения, протекающих сквозь поверхность, ограниченную этим контуром: где истинный электрический ток, обусловленный движением зарядов в проводниках (ток проводимости) либо переносом заряженных частиц или тел неэлектричеокими силами, а также их движением по инерции (конвекционньш скорость изменения потока электрического смещения, названная Максвеллом током смещения.

Циркуляцией вектора А называется криволинейный интеграл по замкнутому контуру (рис. 2.5). Наглядное представление о вихревом движении можно получить, наблюдая водоворот, например, в потоке бурной горной речки. Циркуляция вектора скорости по контуру водоворота в этом случае отлична от нуля.

Рис. 2.5

Рис. 2.6

Запишем теперь сформулированный вначале обобщенный закон Ампера следующим образом:

Магнитное поле бесконечного прямолинейного проводника радиуса а с постоянным током (рис. 2.6). В данном случае очевидна симметрия магнитного поля относительно оси провода, что позволяет определить поле с помощью ф-лы (2.4). Окружим провод кольцевым контуром радиуса

Поле вне провода Циркуляция вектора напряженности магнитного поля так как при постоянном токе Поэтому что совпадает с известным уже выражением для

Поле внутри провода Постоянный ток распределяется по сечению проводника равномерно, и контур охватывает только часть всего тока, а именно Поэтому

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФОРМА

Для установления связи между токами и магнитным полем в каждой точке поля предположим, что контур [см. ф-лу (2.4)] стягивается в точку. Тогда площадь 5, ограниченная контуром, стремится к нулю. Если циркуляция вектора Н по контуру указанной площади не равна нулю, поле носит вихревой характер, т. е. отличен от нуля.

Ротор (вихрь) вектора А — это вектор, равный по величине отношению циркуляции (вектора А по контуру С к бесконечно малой площади ограниченной этим контуром, при таком направлении ее нормали когда циркуляция имеет максимальное положительное значение, и направленный по этой нормали:

где максимум берется по направлению иормали

В общем случае нормаль к заданной площадке не совпадает по направлению с rot А и циркуляция по малому контуру выражается как

В правой части ф-лы (2.4) можно считать постоянными в пределах малой площади, поэтому

Так как площадка может ориентироваться в любом направлении. то

Ротор вектора напряженности магнитного поля в любой его точке равен сумме плотности истинного электрического тока и скорости изменения вектора электрического смещения в этой точке.

Частную производную от по времени называют также плотностью тока смещения:

Итак, магнитное поле создается при любом движении электрических зарядов (электрическом токе) и изменении во времени вектора электрического смещения.

ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЗАРЯДА

Электрические заряды не возникают и не исчезают. Если из замкнутой поверхности возникает ток, то количество заряда внутри нее должно уменьшаться: Принимая направление плотности тока из данной области за положительное, что соответствует направлению нормали, запишем закон сохранения заряда:

Дифференциальную форму этого соотношения получим, применив к его левой части теорему Остроградского — Гаусса [5]:

Поток поля А через замкнутую поверхность равен интегралу от дивергенции А по объему V, ограниченному этой поверхностью:

Заметим, что с помощью (2.8) возможен непосредственный переход от ф-лы (2.1) к (2.3). Выше для этой целл использовался другой способ, чтобы напомнить определение дивергенции.

На основании равенств (2.7) и (2.8) приходим к соотношению:

Учитывая произвольность выбора объема V, получаем дифференциальное выражение закона сохранения заряда, называемое уравнением непрерывности тока и заряда:

Это уравнение, равно как и (2.7), описывает фундаментальное свойство электрических зарядов — принцип их локального (местного) сохранения: заряд не может переместиться из одной точки в другую, не создав между ними тока. Истоками линий плотности

тока являются точки поля, в которых плотность заряда меняется во времени.

Закон сохранения заряда не включен в число основных уравнений электродинамики, поскольку он является следствием обобщенного закона Ампера. Для доказательства равенства (2.9) найдем дивергенцию от обеих частей так как дивергенция ротора всегда равна нулю [5]. Поменяем в первом слагаемом порядок временного и пространственного дифференцирования и воспользуемся ф-лой (2.3): что и приводит к уравнению непрерывности

В случае постоянных токов плотность зарядов во времени не изменяется В этом случае закон Ампера и уравнение непрерывности записываются в виде

т. е. линии постоянного тока непрерывны. Обобщая закон Ампера на случай переменных полей, Максвелл обнаружил, что выражения (2.10) противоречат уравнению непрерывности для переменных полей (2.9). Он дополнил правую часть (2.6) слагаемым чем устранил это противоречие. Введенная Максвеллом поправка имела решающее значение для построения теории электромагнитных волн.