11.7. Собственная добротность резонаторов

ДОБРОТНОСТИ ПРОВОДЯЩЕЙ ОБОЛОЧКИ И ДИЭЛЕКТРИКА

Добротность резонатора определяется ф-лой (11.2), и ее расчет сводится к нахождению запаса энергии в резонаторе и мощности потерь Эта добротность называется собственной, поскольку

принимаются во внимание потери во внешних цепях. Собственные потери складываются из потерь в проводящих стенках резонатора и в диэлектрическом заполнении В соответствии с этим, ф-ла (11.2) дает расчетное соотношение для собственной добротности резонатора:

Собственная добротность резонатора определяется через добротности проводящей оболочки и добротность диэлектрика Найдем эти величины.

Запас энергии в резонаторе складывается из равных в среднем запасов электрической и магнитной энергии:

Мощность потерь в проводящей оболочке. Согласно ф-ле (6.27) и по аналогии с (8.44) определяем

Добротность проводящей оболочки теперь выразится в виде

Чаще всего оболочка резонатора и его заполнение немагнитные и Для вычисления нужно знать распределение магнитного поля данного вида колебаний в резонаторе. Ориентировочное значение легко определить, считая, что энергия магнитного поля в среднем распределена одинаково по всему объему, Тогда (при равенстве в средах) получается очень простое соотношение:

Несмотря на простоту, ф-ла (11.27) в ряде случаев дает точные оезультаты и редко приводит к ошибке, превышающей 10%.

Наибольшую добротность имеют выпуклые резонаторы простой формы, близкие к шару или кубу, с максимальным отношением При использовании определенного вида колебаний и сохранении одномодового режима линейные размеры резонатора пропорциональны тогда Следовательно, с повышением частоты добротность падает.

Мощность потерь в диэлектрике, согласно

Следовательно, добротность диэлектрика

равна обратной величине тангенса угла потерь. При воздушном заполнении и практически оказывается, что

РАСЧЕТ ДОБРОТНОСТИ ПО КОЭФФИЦИЕНТУ ЗАТУХАНИЯ ВОЛНОВОДА

Добротность резонаторов со стоячей волной и кольцевых удобнее рассчитывать, беря за основу коэффициент затухания [ф-ла (8.38)] направляющей системы, из которой образован резонатор (Рбег — мощность бегущей волны).

В резонаторах со стоячей волной существуют две встречные волны, потери которых в диэлектрике и боковых стенках такие же, как у волновода с тем же потоком энергии. Кроме того, следует учитывать потери при отражении волны на замкнутых концах резонатора.

Пусть известно распределение вектора Пойнтинга по сечению волновода или линии. Тогда мощность бегущей волны В соответствии с ф-лой (8.26) энергетическая скорость волны где запас энергии на единицу длины линии.

Определим запас энергии в резонаторе как сумму энергии прямой и обратной волн, протяженностью I каждая: Мощность потерь в волноводе на удвоенной длине

Тангенциальная составляющая магнитного поля при отражении от проводящей стенки удваивается, т. е. равна арифметической сумме обеих волн. Поэтому потери на концах волновода определяются как

Теперь остается лишь подставить найденные значения в формулу для добротности резонатора:

Эта формула пригодна для расчета резонаторов со стоячей волной по продольной оси Для резонаторов с волной типа ТЕМ следует заменить на В кольцевых резонаторах нет концевых отражателей, поэтому второе слагаемое в знаменателе следует положить равным нулю:

Для Е-колебаний, не имеющих вариации поля по длине резонатора физические соображения, положенные в основу вывода ф-лы (11.29), непригодны. В формулу необходимо ввести поправку: поскольку величина поля вдоль оси неизменна, запас энергии и потери увеличиваются вдвое, по сравнению с предыдущим случаем. Учтем также Тогда для колебаний типа получим

Использование позволяет избежать интегрирования полей при расчете

РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ТИПОВ КОЛЕБАНИЙ В ОБЪЕМНЫХ РЕЗОНАТОРАХ

Прямоугольный резонатор. Для колебаний типа из решения задачи 9.4 и ф-лы (11.31) следует, что

Аналогичную формулу можно получить для колебаний с заменой в ф-ле (11.32) .

Цилиндрический резонатор. Для колебаний и ф-лы (9.56), (11.29) и (11.31) приводят к соотношениям:

Для колебания по ф-ле (8.17) получаем Тогда из соотношений (9.55) и (11.29) вытекает:

Собственные добротности объемных резонаторов весьма высоки — порядка отношения линейного размера резонатора к толщине скин-слоя, т. е. коаксиальных резонаторов метрового диапазона и волноводных резонаторов в сантиметровом диапазоне. Для реализации такой добротности необходимы: тщательное выполнение всех элементов резонатора, шлифовка его внутренних поверхностей и защита их от коррозии.

ДОБРОТНОСТЬ ОТКРЫТЫХ РЕЗОНАТОРОВ

Потери в открытом резонаторе вызываются затуханием волны в заполняющей его среде и потерями на его концах за счет дифракции и неидеального отражения.

Обозначим относительные потери мощности гари отражении от двух зеркал где Рдифр относительные дифракционные потери мощности на краях зеркал (см. рис. 11.19), коэффициент отражения от одного зеркала по мощности. Тогда из с учетом (11.23) и (11.24), считая и принимая во внимание, что получаем

где а — коэффициент затухания волны в среде, заполняющей резонатор.

Так как численные значения весьма велики, собственные добротности открытых резонаторов оптического диапазона высоки, порядка