3.4. Однородные волновые уравнения для векторов E и H

Рассмотрим свойства поля в той части пространства, где отсутствуют источники. Тогда справедливы ур-ния (3.14), содержащие две неизвестные векторные функции и Исключим одну из них, сведя систему к одному уравнению для или . С этой целью найдем ротор от обеих частей ур-ний (3.14):

и используем тождество из векторного анализа [5]:

с учетом того, что по ф-лам (3.15) дивергенция векторов раины нулю:

Оператор называемый также лапласианом, представляет собой двойной векторный дифференциал, который для векторных функций вводится соотношением (3.17).

Двукратное дифференцирование скалярной величины приводит к лапласиану, являющемуся скалярной функцией координат:

В декартовой, цилиндрической и сферической системах координат лапласиан от скаляра записывается как

Лапласиан от вектора — вектор; его составляющими в декартовой системе координат являются лапласианы от соответствующих компонент дифференцируемого вектора:

В криволинейных координатах вектор нельзя получить непосредственным применением лапласиана к криволинейным компонентам вектора А. Этот вектор вычисляется в общем случае при помощи соотношения (3.17):

Операция вида (3.20) применима только к прямоугольным компонентам, не меняющим своего направления от точки к точке (например, составляющая в цилиндрических координатах).

За знак лапласиана допустимо выносить лишь те координатные орты, которые имеют одинаковое направление во всех точках пространства.

В правой части вместо подставим соответствующие выражения из (3.14). Тогда

Введем комплексную величину

и назовем ее коэффициентом распространения в среде. Это упрощает запись уравнений:

Полученные дифференциальные уравнения второго порядка называются однородными волновыми уравнениями (уравнениями Гельмгольца).

Однородные волновые уравнения (3.22) для обоих векторов идентичны. Поэтому должны быть одинаковыми решения этих

уравнений для векторов описывающие волны в безграничном пространстве. Поскольку при выводе ур-ний (3.22) использовались соотношения (3.15), решения волновых уравнений должны удовлетворять также условиям отсутствия дивергенции во всей рассматриваемой области.

Так как векторы связаны уравнениями Максвелла (3.14), совершенно излишне решать волновые уравнения как для так и для достаточно решить лишь одно из них. Как будет показано ниже, решением волновых уравнений являются функции координат и времени, которые описывают электромагнитные волны, распространяющиеся в свободном пространстве, волноводах, объемных резонаторах и других устройствах.