4.3. Теорема Пойнтинга. Скорость волны

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ПОЙНТИНГА ДЛЯ МГНОВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПОЛЯ

Поскольку электромагнитная форма движения материи подчиняется закону сохранения энергии, соотношения баланса электромагнитной энергии (4.6) и (4.7) должны вытекать непосредственно из системы уравнений Максвелла (2.16). Теорема Пойнтинга устанавливает это соответствие при сделанных выше предположениях (4.1) и (4.2)

Умножим почленно второе ур-ние (2.16) скалярно на (первое ур-ние (2.16) на ).

Теперь вычтем почленно из первого уравнения второе:

Первые два члена этого уравнения преобразуем с помощью известного тождества [5]:

Здесь стрелкой отмечены функции, на которые действует оператор Гамильтона

Для линейных изотропных сред в соответствии с постоянны в каждой точке), поэтому последующие два члена ур-ния можно представить выражением:

Согласно [14] это равенство справедливо также для анизотропных сред.

Запишем ур-ние (4.11) в виде:

При подстановке в это уравнение введенных ранее соотношений (4.1), (4.2), (4.8) и (4.10) получается закон сохранения энергии в дифференциальной форме (4.7), что и доказывает теорему Пойнтинга.

Скорость электромагнитной волны рассматривается как скорость переноса энергии и массы поля, которые являются количественными мерами материи и ее движения. Определим скорость волны, основываясь на ее энергетических характеристиках. В окрестности некоторой точки плотность потока энергии волны равна объемная плотность энергии волны и искомая скорость волны Рассмотрим элементарный цилиндр, баковая поверхность которого параллельна (рис. 4.2). За время энергия заполняет объем где . В то же время Приравнивая оба выражения для получим:

Рис. 4.2

или

Энергетическая скорость электромагнитной волны определяется отношением вектора Пойнтинга к объемной плотности энергии движущейся волны.