МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ

Магнитное поле определяется правым столбцом системы (5.1):

Оно соленоидально и его линии непрерывны. Для ряда симметричных систем (например, прямой ток) магнитное

поле вычисляется при помощи закона Ампера Общий же метод решения требует введения векторного потенциала магнитного поля А (с размерностью

Условие соленоидальности поля вектора В выполняется, так как всегда

Дальнейшие преобразования справедливы для линейной однородной и изотропной среды. Тогда окалярио и постоянно. Подставим ф-лу (5.27) в первое из равенств (5.26): и используем тождество (3.17); тогда

Для определения любого векторного поля необходимо знать как его ротор, так и дивергенцию. Если известен [по (5.27)], то дивергенцию можно задать произвольно. В данном случае удобно принять Этот выбор называют кулоновой калибровкой. Теперь уравнение для векторного потенциала запишется в знакомой уже форме уравнения Пауссона:

В отличие от ф-лы (5.8) здесь оператор Лапласа применен к вектору А, поэтому ур-ние (5.28) является уравнением Пуассона в векторной форме.

Разложив ур-ние (5.28) по декартовым составляющим найдем три скалярных уравнения Пуассона Их решения запишем в форме (5.10), заменив на Объединив затем координатные составляющие вектора А, получим решение ур-ния (5.28):

где расстояние от точки до охватывает все области, где плотность токов отлична от нуля.

Если ток протекает по проводнику, диаметр которого мал по сравнению с расстоянием ток можно считать линейным, протекающим по тонкой нити. Тогда в результате интегрирования по поперечному сечению провода получаем и формула для векторного потенциала принимает вид:

где элемент контура с током.

По известному векторному потенциалу магнитное поле Н или В определяется с помощью ф-лы (5.27). Если выполнить это

преобразование в общем виде, подставив ф-лу (5.30) в (5 27), то после взятия ротора от подынтегрального выражения находим:

где орт направлен из точки в точку на контуре с током. Формула (5.31) выражает в общем виде закон Био-Савара.

В зависимости от характера задачи для вычисления магнитного поля, созданного постоянными токами, выбирают одно из вышеприведенных соотношений.