2.2. Поток электрического смещения. Обобщенная теорема Гаусса

ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМА

Поток электрического смещения через любую замкнутую поверхность равен электрическому заряду, заключенному внутри этой поверхности:

Это соотношение известно из электростатики как теорема Гаусса и обобщено Максвеллом на случай полей, произвольно зависящих от времени. Оно устанавливает, что электрические заряды служат истоками и стоками электрического поля, линии электрического смещения выходят из областей, содержащих положительные заряды и входят в области, где находятся отрицательные заряды (рис. 2.1). В соответствии с равенством (2.1) поток электрического смещения через поверхность изображенную на рис. 2.2, равен нулю (число входящих линий вектора равно числу выходящих), а через поверхность, изображенную на рис. 2.3, - Q.

Рис. 2.1

Рис. 2.2

Поле с центральной симметрией. Выражение для вектора в явной форме легко определить из ф-лы (2.1), если распределение заряда обладает центральной симметрией. Пусть, например, заряд точечный либо распределен равномерно по поверхности сферы или по объему шара радиуса а. Окружим мысленно заряд сферой радиуса

Из симметрии системы следует, что во всех точках этой сферы векторы одинаковы по величине и

Рис. 2.3

направлены вдоль радиуса. В соответствии с ф-лой (2.1) при имеем что соотвенствует ф-ле (1.6), которой был введен вектор

Закон Кулона. Найдем силу, действующую на точечный заряд со стороны точечного заряда в среде с абсолютной диэлектрической проницаемостью при расстоянии между зарядами (рис. 2.4). Формула (1.6) определяет поле вектора электрического смещения в точке 2, созданное зарядом Сила воздействия электрического поля на заряд согласно ф-лам (1.8) и (1.12) выражается как

Рис. 2.4

Это соотношение и представляет собой закон Кулона. Оно является следствием теоремы Гаусса. Закон Кулона устанавливает, что сила взаимодействия точечных зарядов обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними, имеет центральный характер (направлена по прямой, проходящей через центры обоих зарядов) и линейно зависит от величины зарядов (поэтому возможна суперпозиция эффектов, обусловленных различными зарядами). Отмеченные три. свойства получили всестороннее экспериментальное подтверждение, что и определяет справедливость теоремы Гаусса (2.1).

Поле легко найти непосредственно из соотношения (2.1) и в других случаях симметрии зарядов (относительно прямой или плоскости). Читателю представляется возможность решить самостоятельно подобные задачи помещенные в конце глалы.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФОРМА

В большинстве случаев необходимо определить векторы поля в каждой точке пространства, чего не позволяет сделать интегральное соотношение (2.1). Связь между объемной плотностью электрического заряда и вектором электрического смещения устанавливается обобщенной теоремой Гаусса в дифференциальной форме.

Будем сжимать поверхность вокруг избранной точки так, чтобы заключенный внутри нее объем V стремился к нулю. Разделим обе части равенства (2.1) на V и найдем предел:

Объемная производная от потока вектора в левой части этого выражения называется в векторном анализе дивергенцией (или

расходимостью) вектора и обозначается символом Таким образом,

В каждой точке поля дивергенция вектора равна объемной плотности электрического заряда.

Графически дивергенция представляется числом линий поля, начинающихся в данной области единичного объема; при линии в этой области кончаются.