5.3. Задачи электростатики

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

Электростатическое поле можно определить по заданному распределению зарядов (прямая задача электростатики) с помощью ф-лы (5.10) или в простейших случаях по теореме Гаусса (2.1). Однако лишь в небольшом числе задач (системы с симметрией, точечные заряды) известно заранее распределение зарядов пространстве или по поверхности. Поэтому область применения прямых задач электростатики ограничена.

Практический интерес представляют граничные задачи электростатики — определение поля в диэлектрике, ограниченном системой проводников. При этом для каждого из проводников задается либо его потенциал (граничное условие Дирихле), либо полный заряд Во всех случаях (если система несимметрична) распределение зарядов по поверхности проводников неизвестно и должно быть найдено в процессе решения задачи.

Единого способа решения таких задач не существует. В ряде простейших случаев применим метод изображений. Для более сложных систем попользуют аналитические методы: разделение переменных, конформные преобразования, разложение по ортогональным функциям. Наиболее универсальны методы, использующие математические и физические модели, однако они требуют громоздких установок либо быстродействующих ЭВМ с большим объемом памяти.

ОДНОЗНАЧНОСТЬ РЕШЕНИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

В теории электростатических полей доказываются следующие положения. Решение поставленной выше граничной задачи существует. Оно однозначно (единственно), т. е. физически достоверно (если заданы заряды на всех проводниках, то чтобы определить произвольное слагаемое в решении для потенциала, необходимо задать потенциал какой-либо точки поля). Решение устойчиво: при незначительном изменении граничных условий оно заметно меняется лишь в окрестности границы, где произошли эти изменения. Доказательство этих положений составляет содержание теоремы единственности для электростатики.

МЕТОД ИЗОБРАЖЕНИЙ

Суть метода изображений заключается в том, что заряженные проводящие граничные поверхности заменяются эквивалентными им зарядами-изображениями, находящимися вне объема рассматриваемого диэлектрика. Величина и положение зарядов подбираются таким образом, чтобы обеспечить эквипотенциальность этих поверхностей и выполнение граничных условий.

Рис. 5.3

Так, поле в диэлектрике до и после замены сохраняется неизменным, а граничная задача сводится к определению поля заданных зарядов.

Простейшим примером использования метода изображений может служить определение поля точечного заряда, расположенного над проводящей плоскостью В этом случае заряд-изображение имеет ту же величину, что и исходный, но обратный знак и расположен в зеркальносимметричной точке (рис. 5.3).

Потенциал суммарного поля от заряда и его изображения на граничной поверхности равен нулю. Суммируя с учетом направлений электрические поля (1.6) этих зарядов, получаем, что в произвольной точке на поверхности вектор Е имеет только нормальную составляющую Поверхностная плотность заряда в этой точке

ПОЛЕ БЕСКОНЕЧНОЙ ПРЯМОЙ ЗАРЯЖЕННОЙ НИТИ

Пусть линейная плотность заряда нити равна Используем в решении симметрию поля относительно оси нити. Окружим нить цилиндром радиуса и применим к поверхности этого цилиндра теорему Гаусса (2.1). Поток электрического смещения через единицу длины откуда напряженность электрического поля

Разность потенциалов между точками в этом поле

Эквипотенциальные поверхности поля нити — круговые цилиндры.

При принятой идеализации (нить бесконечной длины) суммарный заряд ниги равен бесконечно большой величине. Разность потенциалов между и бесконечно удаленной точкой () также бесконечна. Поэтому в таких задачах задают потенциал какой-либо точки на конечном расстоянии от оси.

ЕМКОСТЬ КОАКСИАЛЬНОЙ ЛИНИИ

Рассмотрим бесконечную по длине систему коаксиальных проводников, заряженных равными по величине разноименными зарядами с линейной плотностью (рис. 5.4). Очевидно, что заряды сосредоточиваются на обращенных друг к другу поверхностях проводов. Поле между проводами идентично полю заряженной нити в силу одинаковой симметрии обеих систем. Поэтому разность потенциалов между проводниками линии определяется ф-лой (5.16) при

Рис. 5.4.

Емкость, приходящаяся на единицу длины коаксиальной линии, определяется теперь в соответствии с ф-лой (5.12):

Например, при

Легко показать, что и в проводниках и в наружном пространстве электростатическое поле линни отсутствует. Действительно,

суммарный заряд, заключенный внутри коаксиальной цилиндрической поверхности с радиусом или равен нулю; по теореме Гаусса отсюда следует, что

ПОЛЕ ДВУХ ЗАРЯЖЕННЫХ НИТЕЙ

Пусть нити, расположенные на расстоянии друг от друга (рис.

5.5), несут разноименные линейные заряды с плотностью и Результирующее поле симметрично и является суперпозицией полей каждой из нитей

Рис. 5.5

Примем, что потенциал точки в плоскости симметрии: Тогда

Эквипотенциальные поверхности описываются уравнением Известно, что окружность является геометрическим местом точек, отношение расстояний которых от двух данных точек постоянно. Поэтому в пространстве указанному уравнению отвечают круговые цилиндрические поверхности. Положение центра произвольного эквипотенциального цилиндра радиуса а, находящегося слева от плоскости симметрии, определяется равенством отношений расстояний до заряженных нитей для диаметрально расположенных точек

откуда

Оси эквипотенциальных поверхностей не совпадают с положением нитей.

ПОЛЕ ДВУХПРОВОДНОЙ ЛИНИИ

Пусть два параллельных цилиндра радиуса а, расстояние между осями которых равно имеют потенциалы соответственно Определим поле этой системы и емкость, приходящуюся на единицу длины.

Очевидно, что заданная система имеет в пространстве вне цилиндров такое же поле, как две заряженные нити с равными разноименными зарядами, так как поверхности цилиндров могут быть совмещены с эквипотенциальными поверхностями поля нитей. Линейные плотности зарядов находятся подстановкой в

отсюда емкость, приходящаяся на единицу длины системы;

Если то пользуются приближенной формулой. Пренебрегая под квадратным корнем единицей по сравнению с получаем с погрешностью менее

Напряженность поля определим для произвольной точки на поверхности левого провода:

Выразим в цилиндрической системе координат с центром в точке и после дифференцирования подставим

Теперь найдем напряженность электрического поля и соответствующую ей плотность электрического заряда с учетом того, что

Заряд и поле второго проводника симметричны найденным. Поверхностный заряд распределен по окружности проводящего цилиндра неравномерно. Вследствие эффекта близости (электростатической индукции) плотность заряда и напряженность поля каждого из проводов больше со стороны, обращенной к другому проводу.