5.2. Электростатическое поле

СКАЛЯРНЫЙ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ

Электростатическое поле связано с системой неподвижных электрических зарядов. Оно является частным случаем стационарного поля при и может, следовательно, существовать только в среде, проводимость которой равна нулю. При этом условии получаем из (5.1) следующую систему уравнений:

Из первого равенства (5.2) вытекает, что электростатическое поле безвихревое, ротор вектора Е во всех точках пространства равен нулю. Тождество известное из векторного

анализа [5], показывает, что всякое безвихревое поле является потенциальным, т. е. может быть представлено в виде градиента некоторой скалярной функции Поэтому выразим напряженность электростатического поля Е через градиент скалярного электростатического потенциала взятый с обратным знаком, т. е.

Знак минус означает, что вектор Е направлен от точки с более высоким потенциалом к точке с более низким потенциалом.

Градиентом скалярной функции называется вектор, направленный в сторону быстрейшего увеличения и равный по величине производной по указанному направлению. Производная по любому направлению равна проекции градиента на это направление:

Интегрируя от точки до точки 2 (рис. 5.1), получаем с помощью ф-л (5.3), (5.4):

Разность потенциалов между двумя точками равна линейному интепралу от вектора взятому с обратным знаком, между этими точками; из ф-лы (5.5) следует, что разность потенциалов не зависит от пути интегрирования. Независимость линейного интеграла от пути интегрирования можно показать также, взяв интеграл по замкнутому контуру Циркуляция так как [см. теорему Стокса (2.12), а также закон Фарадея (2.11) при Следовательно, интегралы по и равны между собой.

Рис. 5.1

Формулы (5.3) и (5.5) позволяют перейти от описания электростатического поля с помощью вектора Е к описанию поля при помощи функции и обратно. Следовательно, оба описания поля равноправны. Однако оперировать со скалярной функцией проще, чем с векторной.

Потенциал определен здесь неоднозначно, с точностью до произвольной постоянной С, так как Обычно эту неопределенность устраняют тем, что считают электростатический потенциал Земли равным нулю, а в случае уединенных зарядов нулевое значение потенциала приписывают бесконечно удаленной точке.

Определим с помощью работу внешних сил по перемещению заряда в электрическом поле из точки 1, находящейся в области нулевого потенциала в произвольную точку 2.

Эта работа совершается против сил электрического поля чему соответствует отрицательный знак в выражении

Отсюда следует, что потенциал какой-либо точки численно равен потенциальной энергии единичного положительного заряда, помещенного в эту точку.

Скалярные поля изображаются поверхностями уровня, для потенциала эта поверхность называется эквипотенциальной и соответствует геометрическому месту точек, где

Градиент скалярной функции по определению всегда перпендикулярен поверхности уровня, поэтому в электростатическом поле линии вектора перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.

ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ПОЛЕ ТОЧЕЧНОГО ЗАРЯДА

Напряженность поля точечного заряда определяется из Найдем теперь потенциал произвольной точки поля по интегрированием от бесконечности до считая

Линии поля Е расходятся от заряда по радиусам. Эквипотенциальными поверхностями является семейство концентрических сфер.

УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА И ЛАПЛАСА

Электростатическое поле создается распределением электрических зарядов Для нахождения непосредственной связи между и электростатическим потенциалом используем второе уравнение электростатики (5.2) с заменой на а затем на по (5.3); для однородной линейной среды постоянную можно вынести за знак пространственного дифференцирования. Тогда Двойная векторная производная от равна лапласиану (3.18), следовательно,

Полученное уравнение Пуассона является основным соотношением теории электростатического потенциала и устанавливает, что лапласиан от [в декартовой системе координат — сумма вторых производных от (3.19)] в каждой точке поля пропорционален объемной плотности электрического заряда.

В области, свободной от зарядов, потенциал поля подчиняется уравнению Лапласа, являющемуся частным случаем ур-ния (5.8):

Уравнения Пауссона и Лапласа определяют лишь дифференциальные свойства потенциала в каждой точке поля. Решение уравнения Пуассона должно описывать поле в целом, с учетом всех образующих его зарядов. К линейной среде применим принцип суперпозиции. Поэтому получим нужное решение с помощью ф-лы (5.7), заменив точечный заряд в точке на элементарный объемный заряд и просуммировав затем потенциалы от всех зарядов в объеме V (рнс. 5.2). Потенциал в произвольной точке

где расстояние между точками включает все области, имеющие электрические заряды.

Рис. 5.2

Если величина конечна, интеграл сходится при следовательно, решение уравнения Пауссона (5.10) справедливо для всех точек пространства, вне и внутри объема Это решение получено для однородного диэлектрика и может быть проверено прямой подстановкой в (5.8).

ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ

Для решения задач электростатики необходимо знать условия на границе раздела диэлектрик — проводник. Внутри проводника электрическое поле отсутствует, так как в противном случае в нем протекал бы ток Следовательно, в электростатике на границе любого проводника справедливы граничные условия (2.27), которые в общем случае были получены лишь для идеальных проводников. В диэлектрике на границе с проводником

где нормаль, направленная из диэлектрика в проводник.

Согласно (5.3) откуда получаем граничные условия для потенциала у поверхности проводника:

Поверхность проводника эквипотенциальна; поверхностная плотность заряда пропорциональна нормальной производной от потенциала у его поверхности.

ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЕМКОСТЬ

Отношение заряда уединенного проводника к его потенциалу называют электрической емкостью проводника: Емкость данного проводника изменяется, если вблизи имеются другие проводящие тела, и зависит от зарядов или потенциалов этих проводников. Взаимное влияние проводящих тел, вызывающее перераспределение зарядов на них и изменение их потенциала, называется электростатической индукцией.

Система двух проводников, защищенная от внешнего влияния, называется конденсатором. Так как все линии электрического поля, выходящие из одного проводника, заканчиваются на другом, их заряды равны между собой. Емкость конденсатора определяется, как модуль отношения заряда одного из проводников к напряжению между проводниками конденсатора:

Конденсатор служит одним из элементов электрической цепи. Емкость его рассчитывают с помощью соотношений электростатики. К определению электростатической емкости между проводниками сводится также расчет одного из важных параметров линии передачи — ее характеристического сопротивления. Поэтому область использования методов решения задач электростатики не ограничивается только стационарными полями.

ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ

Объемная плотность энергии электрического поля определяется соотношением (4.1): полная энергия электростатического поля, созданного некоторой системой зарядов, выражается интегралом по безграничному пространству:

где У» — все пространство.

Эту же энергию можно определить, наблюдая постепенное создание электростатического поля при внесении в него из бесконечности электрических зарядов. Величина затраченной при этом энергии соответствует полной работе, которую нужно совершить, чтобы расставить все заряды на отведенные им места, преодолевая противодействие поля. Работа по внесению в точку элементарного заряда согласно где потенциал, созданный в точке всеми остальными зарядами и определяемый по ф-ле (5.10). Если проинтегрировать по объему V, занимаемому зарядами, то взаимодействие каждой пары зарядов учтется дважды: заряд

сопротивляется внесению заряда а заряд внесению заряда Так как один из зарядов вносится в поле в тот момент, когда второго заряда еще нет, полная энергия системы определяется половиной соответствующего интеграла:

Итак, энергию поля можно вычислить по распределению в нем электрических зарядов. Интеграл в этом случае охватывает лишь области, где заряды не равны нулю. Соотношения (5.13) и (5.14) для энергии электростатического поля эквивалентны, что можно доказать с помощью и (5.3). Из (5.14) легко определить энергию электрического поля уединенного проводника и конденсатооа