8.3. Связь между продольными и поперечными составляющими поля
До сих пор предполагалось, что ур-ния (8.5) решаются в векторной форме, т. е. в общем случае отыскиваются шесть координатных составляющих электрического и магнитного полей. Однако оказывается, что достаточно решить эти уравнения только для продольных составляющих 
Поперечные составляющие 
в
направляющих системах являются однозначными функциями продольных. Докажем это положение.
Векторы поля и оператор Гамильтона [ф-лы (2.29) - (2.31)1 представим в виде суммы продольной и поперечных составляющих с учетом зависимости (8.1):
где V, — оператор Гамильтона по поперечным координатам.
Найдем проекции уравнений Максвелла (3.14) на поперечную плоскость:
Представим ротор с учетом (8.6) в виде
где индекс 
при 
означает, что дифференцирование производится только в поперечной плоскости. Аналогичное соотношение получается для 
Теперь ур-ния (8.7) запишутся в виде:
Второе ур-ние (8.8) умножим почленно векторно на 
Легко видеть, что при двойном умножении поперечного вектора на орт 
он поворачивается в поперечной плоскости на 
Следовательно, 
Найдем отсюда произведение 
и подставим его в первое из ур-ний (8.8); тогда 
И окончательно, учитывая ф-лы (3.21) и (8.3), получаем выражение для поперечной электрической составляющей поля:
Аналогично, исключая из ур-ний (8.8) вектор 
получаем для магнитной составляющей:
Поперечные составляющие поля пропорциональны градиентам 
определяемым в поперечной плоскости. Если известно распределение продольных составляющих поля по поперечному
и отыскать затем 
По аналогии с электростатикой можно утверждать, что 
являются потенциальными функциями для 
