7.3. Принцип перестановочной двойственности

УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА В СИММЕТРИЧНОЙ ЗАПИСИ

Решение некоторых задач электродинамики можно существенно упростить, если ввести в систему уравнений Максвелла сторонние магнитные токи и заряды Согласно всем известным экспериментальным результатам, магнитные заряды реально не существуют и с физической точки зрения являются фиктивными

величинами. Однако их существование в теории оправдано по следующим причинам: замкнутые электрические токи, переменные и постоянные, а также постоянные магниты можно заменить эквивалентными им линейными магнитными токами и сосредоточенными магнитными зарядами; в систему уравнений Максвелла вводятся Слагаемые, недостающие до ее полной симметрии относительно электрических и магнитных величин. Например, в первом уравнении системы (3.11) ротор напряженности магнитного поля равен сумме плотностей электрических токов смещения, проводимости и стороннего. Уместно поэтому ротор напряженности электрического поля во втором ур-нии (3.11) приравнять (с обратным знаком) аналогичной сумме плотностей «магнитного тока смещения» магнитного тока проводимости и стороннего магнитного тока [в ур-ниях (3.11) имеется только первое из этих слагаемых]. При введении объемной плотности магнитных зарядов в четвертое ур-ние (3.11) оно становится симметричным с третьим.

С указанными дополнениями уравнения Максвелла являются попарно симметричными; запишем их в форме, аналогичной

Математическая законченность уравнений Максвелла в симметричной форме столь привлекательна, что до сих пор не оставлены попытки обнаружить в природе существование магнитных зарядов.

Магнитные токи и заряды в этих соотношениях, как и электрические, связаны уравнениями непрерывности, аналогичными ф-ле (3.12), которые являются прямым следствием ф-л (7.18).

ИНВАРИАНТНОСТЬ УРАВНЕНИЙ К ЗАМЕНАМ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ ВЕЛИЧИН

Покажем, что в каждом из ур-ний (7.18) можно заменить все электрические величины магнитными, а магнитные электрическими при соблюдении определенных правил знаков, не изменив при этом системы уравнений Максвелла; уравнения лишь поменяются местами в парах. Заменим всюду вектор Е на Будем следить за тем, чтобы при заменах направление потока электромагнитной энергии, определяемое вектором Пойнтинга оставалось неизменным. Как видно из рис. 7.6, для этого следует заменить Н на

Таким образом, второе ур-ние (7.18) перейдет в первое, если заменить также на на Аналогично из порзого ур-ния (7.18) получается второе при замене на и на Подобные правила для зарядов следуют из третьего и четвертого ур-ний (7.18). Сведем вместе полученные правила замен:

Принцип перестановочной двойственности уравнений Максвелла заключается в их инвариантности к заменам (7.19). Отсюда следует, что электромагнитные поля, созданные некоторым распределением сторонних электрических токов и таким же пространственным распределением сторонних магнитных токов аналогичны. Зная решение одной из задач, можно найти решение другой простой заменой по (7.19).

Взаимная замена в ф-ле (3.33) для волнового сопротивления среды приводит к тому, что оно. меняется на обратную величину

Рис. 7.6.

Принцип перестановочной двойственности, сформулированный впервые А. А. Пистолькорсом, применяется, как правило, при рассмотрении полей в безграничном пространстве. Замены (7.19) сохраняют справедливость условий на бесконечности |ф-ла (4.37) или (4.38)]. Сложнее обстоит дело с ограниченными областями, так как принцип двойственности применим лишь в тех случаях, когда перестановкам (7.19) отвечают также измененные граничные условия. Однако, если еще можно считать, что диэлектрику соответствует магнетик, аналога электрического проводника в виде «магнитного проводника» не существует.

Одним из следствий принципа двойственности является отмеченная в 5.5 аналогия задач электростатики и магнитостатики.