Глава 6. ВОЛНЫ У ГРАНИЦЫ РАЗДЕЛА СРЕД

6.1. Отражение и преломление плоских волн на плоской границе раздела

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Явления на границе раздела двух разнородных сред: отражение, преломление и поглощение электромагнитных волн — играют большую роль в электродинамике. В данной главе рассматривается простейший класс задач такого рода: падение плоской волны - на плоскую границу раздела, которую можно считать бесконечно протяженной практически с размерами, намного превышающими Полученные результаты справедливы также для криволинейных границ и неплоских волн, если их радиус кривизны значительно больше длины волны. Эти условия относятся к приближениям геометрической оптики (см. 7.6) и позволяют рассматривать электромагнитные волны в виде лучей.

Рис. 6.1

Характеристики явлений отражения и преломления можно разбить на два класса:

— угловые — законы для углов отражения и преломления, вытекающие из особенностей волнового процесса и одинаковые для волн любой физической природы;

— динамические — законы для напряженностей отраженной и преломленной волн, изменения фазы и поляризации, зависящие от конкретных граничных условий.

ВЕКТОРНАЯ ЗАПИСЬ МНОЖИТЕЛЯ БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ

Вначале покажем, что волна, распространяющаяся в произвольном направлении вдоль оси (рис. 6.1), имеет в точке множитель бегущей волны вида

где волновой вектор, определяемый по радиус-вектор точки углы между ортом ел и положительным направлением

осей координат. Следовательно,

так как расстояние от точки до начала координат

УГЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Рассмотрим явления, возникающие при падении плоской однородной волны на плоскую границу раздела двух произвольных сред (рис. 6.2). Среды характеризуются коэффициентами распространения и волновыми сопротивлениями (см. параграф

3.5). Очевидно, что волновые векторы падающей, отраженной и преломленной волн равны соответственно Задай угол падения падающей волны. Определим угол отражения и угол преломления отраженного и преломленного лучей.

Назовем плоскостью распространения волны плоскость, проходящую через луч и нормаль к граничной поверхности. Для падающей волны она именуется плоскостью падения и на рис. 6.2 совмещена с

Рис. 6.2

Векторы всех трех волн должны удовлетворять граничным условиям во всех точках плоскости и в любой момент времени. Поэтому независимо от характера граничных условий должны совпадать фазовые множители этих волн:

При фиксированном отсюда сразу вытекает равенство частот всех волн Проекция а следовательно, и проекции на ось у равны нулю. А это означает, что все волновые векторы лежат в плоскости падения. Поэтому их проекции на ось должны быть равны между собой:

что позволяет сформулировать следующие законы:

— закон отражения: угол отражения равен углу падения

— закон преломления Снеллиуса: отношение синусов углов преломления и падения равно отношению комплексных

коэффициентов распространения в первой и второй средах:

Из этого равенства следует, что в общем случае угол преломления О может быть комплексным. Если ограничиться рассмотрением диэлектриков с несущественными потерями, то и закон Снеллиуса запишется в виде

где коэффициенты преломления сред.

Для диэлектриков синусы углов наклона лучей относительно нормали пропорциональны фазовым скоростям волн в соответствующих средах и обратно пропорциональны их коэффициентам зреломления.