6.7. Метод ориентированных графов. Прохождение волны через пластину

ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ

Анализ и расчет цепей свч и электродинамических устройств значительно упрощается при использовании метода ориентированных графов — нового топологического способа определения их характеристик (31]. Его достоинствами являются наглядность графического изображения и быстрота получения конечного результата. Анализ сложного устройства методом графов не требует решения граничной электродинамической задачи (если она решена для элементов этого устройства) и составления системы алгебраических уравнений, а также позволяет избежать громоздких математических преобразований. Рассмотрим этот метод подробнее.

Линейный ориентированный граф изображает линейную зависимость между несколькими переменными. Он имеет вид цепи, состоящей из узлов, соединенных ветвями. Узлы характеризуются узловыми сигналами, например, комплексной напряженностью поля волны в соответствующей точке системы. Ветви характеризуются направлением и коэффициентом передачи (передачей). Узел — источник, из которого ветви только исходят, называется независимым. Стоком считают тот узел, к которому ветви только подходят. Если к узлу подходит хотя бы одна ветвь, он считается зависимым. Совокупность ветвей, проходящих через каждый узел не более одного раза, называется путем, передача пути, равная произведению передач всех пройденных ветвей. Замкнутый путь называется контуром первого порядка; передача

контура первого порядка. Контур порядка — совокупность контуров первого порядка, у которых нет общих узлов; его передача определяется произведением передач входящих в него контуров первого порядка.

Назовем коэффициентом передачи отношение комплексных напряженностей поля волны, пришедшей в узел, и волны от источника, находящегося в узле. Если то представляет собой комплексный коэффициент отражения. Эти коэффициенты определяются с помощью ориентированных графов по «правилу некасающегося контура»:

где передача пути из узла в узел передача контура порядка. В знаменателе этой формулы суммирование выполняется по всем контурам, в числителе — только по контурам, не касающимся пути.

ПРОХОЖДЕНИЕ ВОЛНОЙ ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ

Рассмотрим методом графов практически важный случай нормального падения плоской однородной волны на плоско-параллельную пластину. Три произвольные однородные среды, характеризующиеся коэффициентами распространения ) и волновыми сопротивлениями (индекс «в» в дальнейшем опускается) разделены плоскостями (рис. 6.11) так, что среда 2 образует слой толщиной

Рис. 6.11

Требуется определить две характеристики: коэффициент отражения от пластины и

коэффициент прозрачности пластины определяются при при Волны испытывают многократные отражения от границ раздела 1 и 2, поэтому отраженная и прошедшая волны образуются в результате интерференции бесконечного ряда волн.

Составим вначале граф, соответствующий прохождению через границы А прямой и обратной волн (рис. 6.12). Считаем, что падающая из среды 1 волна попадает в узел далее она частично отражается с коэффициентом что показано ветвью а частично проходит во вторую среду с коэффициентом чему соответствует ветвь Оба коэффициента определяются формулами Френеля (6.14). Для волны падающей на ту же границу из второй среды — из узла коэффициенты отражения и прохождения находятся из предыдущих заменой индексов сред для ветви для ветви Двойные индексы следует читать так: «21» — «в среду 2 из среды

В узлах объединяются две волны: отраженная в той же среде и пришедшая из другой среды.

Обратимся снова к рис. 6.11. Прохождение волной пластины толщиной в среде 2 описывается множителем который и является передачей соответствующих ветвей: исходящей из и входящей в Граф для границы В аналогичен рассмотренному; нужно лишь учесть, что волна, падающая из среды 3 через узел отсутствует. Теперь несложно изобразить граф, соответствующий поставленной задаче (рис. 6.13).

Рис. 6.12

Рис. 6.13

Здесь по аналогии с предыдущим случаем

Коэффициенты определяются по графу рис. 6.13 и ф-ле (6.35). Этот граф имеет только один контур

соответствующий волне, многократно отраженной от границ и его передача Для волны, прошедшей из среды 1 в среду 3, возможен только один путь с передачей касающийся контура Коэффициент прозрачности пластины находим по ф-ле (6.36)

Для отраженной волны на рис. 6.13 есть два пути: из них только первый не касается контура

Передачи этих путей: Следовательно, коэффициент отражения от пластины:

Этим же методом нетрудно найти соотношения для при наклонном падении волны на пластину.

ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПЛАСТИНА

Предположим, что все среды на рис. 6.11 диэлектрики с малыми потерями, так что затуханием волны в пластине 2 можно пренебречь Тогда везде сопротивления вещественны, а коэффициенты мнимы. В формулах (6.36) и (6.37) следует заменить гиперболические функции тригонометрическими:

Найдем условия полного прохождения волны:

При одинаковых параметрах сред в числителе исчезает первое слагаемое, а выражение в скобках второго слагаемого не может быть равным нулю. Следовательно, равенство выполнимо лишь при условии что требует или Толщина пластины должна быть кратна полуволне во второй среде; полуволновая пластина в этом случае абсолютно прозрачна.

При различных параметрах сред первое ела гаемое в числителе ф-лы (6.32) может быть равно нулю лишь при

условии или одновременно положить нулю нельзя, поэтому необходимо, чтобы

Итак, условия полного прохождения:

Пластина должна быть четвертьволновой (или ее толщина должна быть равна нечетному числу четвертей длин волн в ней) и иметь волновое сопротивление, равное среднему геометрическому от волновых сопротивлений разделяемых сред. Свойство абсолютной прозрачности четвертьволнового слоя (6.40) используется для «просветления оптики», т. е. создания неотражающих линз и призм для волн от оптического диапазона до дециметрового.

Рис. 6.14

На рис. 6.14 представлены графики для коэффициента отражения по мощности вычисленного по ф-ле (6.39) при следующих параметрах идеальных диэлектриков: кривая кривая кривая кривая Эти графики подтверждают полученные выше условия. Из рисунка видно, что полная прозрачность (кривые 3 и 4) достигается лишь в сравнительно узкой частотной полосе. Частотные характеристики, подобные кривой 4, позволяют измерять длину волны, если известны либо диэлектрическую проницаемость пластины при известной частоте и толщине По этому же принципу можно построить фильтр, пропускающий определенную полосу частот.