Глава 3. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА МОНОХРОМАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ

3.1. Векторные величины в комплексной форме

В курсе технической электродинамики изучаются преимущественно переменные поля, изменяющиеся во времени по гармоническому (синусоидальному) закону с определенной, хотя и произвольной частотой Круг задач этим условием не ограничивается, так как зависимость создаваемых техническими устройствами полей от времени обычно близка к гармонической и, кроме того, известно, что почти любую функцию времени можно с помощью ряда или интеграла Фурье представить в виде спектра частот: гармонического ряда или интеграла от ее частотных составляющих. Поэтому достаточно рассмотреть переменное поле одной частоты, называемое также монохроматическим.

Математический анализ монохроматических полей в линейных средах значительно упрощается при использовании символического метода (комплексной формы записи), который широко применяется в теории переменных токов. Рассмотрим особенности этого метода применительно к векторным величинам.

Мгновенное значение гармонически изменяющегося вектора можно записать в виде:

где — взаимноперпендикулярные координатные орты, действующие (эффективные) значения координатных составляющих, — фазы этих составляющих, круговая частота гармонических колебаний.

Если фазы координатных компонент одинаковы то - вектор А можно представить через действующее значение вектора

Комплексными действующими величинами назовем векторы

Мгновенные значения вектора (3.1) или (3.2) определяются как вещественные части от произведения комплексных действующих величин на

Последнее равенство основано на формуле Эйлера

Символический метод применим для анализа любых гармонических колебаний, подчиняющихся линейным уравнениям, в частности уравнениям Максвелла для линейных сред. Пусть для монохроматического поля справедливо уравнение, в котором временные зависимости векторов записаны в виде Тогда это же уравнение верно и для поля с зависимостями вида отстающего от первого по фазе на Умножим второе уравнение на и сложим с первым. По формуле Эйлера это эквивалентно переходу к уравнению комплексной записи.

В уравнениях для комплексных величин зависимость от времени писать не принято, хотя всегда подразумевается, что речь идет о гармонических колебаниях определенной частоты Напомним, что дифференцирование комплексной величины по времени эквивалентно в символическом методе ее умножению так как

Обратим внимание на одну особенность. Величины, с которыми приходится иметь дело в теории поля, представляют собой векторы в трехмерном пространстве (обозначаются полужирным шрифтом). Одновременно переменные величины представляются векторами, вращающимися с круговой частотой на комплексной плоскости (обозначаются точкой наверху). Направление вектора в трехмерном пространстве — это реальная характеристика ориентации поля. Направление же вектора на комплексной плоскости — это всего лишь условное обозначение определенной фазы данной гармонически изменяющейся величины по сравнению с выбранным началом отсчета.