Глава 7. ИЗЛУЧЕНИЕ И ДИФРАКЦИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН

7.1. Электродинамические потенциалы

ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ

Выше было установлено (параграфы 3.5 и 3.6), что переменное электромагнитное поле имеет волновой характер и распространяется в свободном пространстве с постоянной скоростью, равной с. Из уравнения баланса энергии для переменного электромагнитного поля следует, что электромагнитная энергия переносится волнами из объема, где действуют переменные сторонние токи, в окружающее этот объем пространство, где этих токов нет. Процесс волновой передачи переменного электромагнитного поля из области, где существуют сторонние источники, называется излучением.

На практике приходится решать две противоположные задачи, связанные с излучением электромагнитных волн: проектировать излучающие устройства — антенны, которые должны излучать в нужных направлениях практически всю подводимую к ним энергию, и создавать неизлучающие направляющие устройства для передачи электромагнитных волн. Очевидно, что решение обеих задач требует знания закономерностей процесса излучения. Теоретически задача сводится к определению во всем пространстве электромагнитного поля, созданного некоторым распределением сторонних токов . В качестве исходной примем систему уравнений Максвелла для однородной изотропной среды (3.13).

ВЕКТОРНЫЙ И СКАЛЯРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛЫ

При рассмотрении статических и стационарных полей введение потенциалов позволило свести уравнения Максвелла к уравнению Пуассона, наиболее простому по форме. Воспользуемся этим способом для упрощения системы уравнений монохроматического поля в однородной среде при наличии сторонних токов (3.13).

Поскольку выразим как и в (5.27), через векторный электродинамической потенциал А:

Подставим это выражение во второе уравнение системы (3.13):

Выражение в круглых скобках, ротор которого равен нулю, можно по аналогии с (5.3) представить в виде градиента некоторой скалярной функции, которую назовем скалярным электродинамическим потенциалом

Первое уравнение Максвелла (3.13) записывается через электродинамические потенциалы в виде: или с учетом тождества (3.17) и обозначения (3.21) в виде:

Так как можно задать произвольно, воспользуемся для электродинамического потенциала А лоренцовой калибровкой:

которая при переходит в кулонову калибровку.

В результате получаем неоднородное волновое уравнение для векторного электродинамического потенциала:

Из третьего ур-ния (3.13) получаем аналогичное уравнение для скалярного электродинамического потенциала:

которое является следствием ур-ния (7.4) с учетом калибровки (7.3).

РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ

Предположим вначале, что источник поля занимает весьма малую область около начала координат. Во всем остальном пространстве поле удовлетворяет однородным волновым уравнениям, т. е. (7.4), (7.5) с нулевой правой частью. В этом случае очевидна сферическая симметрия решения скалярного ур-ния (7.5) относительно источника; поэтому считаем решение не зависящим от углов в сферических координатах: Тогда оператор Лапласа (3.19) упрощается: а однородное ур-ние (7.5) - принимает вид: Это уравнение (с другими переменными) совпадает по виду с уравнением (3.23) для плоской однородной волны. Аналогично решению (3.24) оно допускает два решения для поля в произвольной точке Из проведенного в 3.5 анализа следует, что первое слагаемое описывает сферическую волну,

распространяющуюся от источника в сторону возрастающих значений Второе слагаемое соответствует волне, сходящейся к источнику; существование такой волны физически нереально, противоречит принципу причинности явлений и не удовлетворяет теореме единственности, в частности, условиям излучения (4.38); поэтому считаем

Итак, Очевидно, что коэффициент В пропорционален интенсивности источника. С понижением частоты коэффициент распространения и естественно предположить, что в пределе при данное выражение совпадает с выражением (5.10) для поля электростатического заряда, которое является решением уравнения Пуассона (5.8). Тогда

Возвращаясь к произвольной частоте и считая объем V, где расположены сторонние силы, также произвольным, получаем

Векторное ур-ние (7.4) можно представить тремя скалярными проекциями в декартовой системе координат, каждая из которых подобна (7.5). Применив полученное решение для каждой из проекций (с заменами а затем, объединив их, получим решение для векторного электродинамического потенциала:

где V — объем, занимаемый сторонними токами, текущее расстояние от каждого элемента объема источника до точки

Это решение называется интегралом Кирхгофа для запаздывающих потенциалов. Оно удовлетворяет условиям теоремы единственности для внешней задачи электродинамики (см. 4.6). Множитель соответствует конечной скорости распространения волны от источника благодаря чему его воздействие доходит до точки с запаздыванием на время (рис. 7.1). Векторный потенциал в момент времени является функцией токов в точке И, существовавших в более ранний момент

Отметим, что за исключением множителя запаздывания -соотношение (7.6) не отличается от решения (5.29) для векторного потенциала стационарного магнитного поля. Справедливость допущений, сделанных при выводе ф-лы (7.6), подтверждается непосредственной подстановкой полученного решения в исходное ур-ние (7.4).

Рис. 7.1

Из ф-лы (7.6) следует, что векторный электродинамический потенциал А параллелен создавшему его стороннему току, его амплитуда убывает с расстоянием по закону на большом расстоянии от излучателя (по сравнению с его размерами) волна имеет сферический фронт.

Напряженность магнитного поля определяем по известному значению А из соотношения (7.1). Затем, учитывая отсутствие сторонних токов в точке с помощью первого ур-ния (3.13) находим напряженность электрического поля:

Полученные соотношения определяют в общем виде электромагнитное поле заданного распределения сторонних токов в безграничном пространстве.