7.6. Дифракция электромагнитных волн

ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ

Дифракцией называют явление огибания волнами препятствий. В результате дифракции электромагнитных волн поле наблюдается в области геометрической тени, куда при прямолинейном распространении волн оно не могло бы проникнуть.

Теория дифракции впервые появилась в оптике как основа волновой теории света. Задачи дифракции, выдвигаемые практикой и решаемые современной теорией, весьма разнообразны и сложны. К ним например, относятся: распространение радиоволн вокруг земного шара и по линии передачи, имеющей нерегулярности; излучение антенн; прохождение волны через отверстия в экранах; падение волны на проводящие и диэлектрические тела различной формы.

6 современной литературе задачей дифракции считают определение полного поля, созданного при взаимодействии исходной (падающей) волны с препятствием (рис. 7.11). Та

Рис. 7.11

часть препятствия, на которую попадает падающая волна при прямолинейном распространении (считаем среду вне препятствия однородной), называется освещенной. Область тени определяется как часть пространства, в которую не попадают прямолинейные лучи падающей волны. Напряженности поля не испытывают скачка между освещенной и теневой частями препятствия и пространства, а убывают постепенно в некоторой переходной области, именуемой зоной полутени. Условно различают рассеянное поле, полученное в основном при отражении волн от освещенной части препятствия, и дифракционное, занимающее преимущественно области тени и полутени.

Задачи дифракции являются разновидностью граничных задач электродинамики. В них отыскивается такая суперпозиция поля падающей волны и вторичного поля, полученного при ее взаимодействии с препятствием, которая удовлетворяет волновому уравнению, граничным условиям на поверхности препятствия и условиям теоремы единственности. При полной определенности исходных уравнений в общем виде их точное аналитическое решение возможно лишь в небольшом числе идеализированных случаев для препятствий простой формы. В большинстве практически важных случаев пользуются разнообразными приближенными методами с привлечением весьма сложного математического аппарата, численными методами, а также сочетают теоретические исследования с экспериментальными. Такого рода задачи выходят далеко за рамки учебника. Поэтому особый интерес представляют относительно простые приближенные методы, которые в определенных условиях дают достаточно точные результаты. В первую очередь, к ним относятся методы геометрической и физической оптики [21], [27].

МЕТОД ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ

Локальный характер явлений. Метод геометрической или лучевой оптики основан на представлении о локальном характере процесса распространения электромагнитных волн: волна является совокупностью лучей, не взаимодействующих между собой, эти лучи отражаются и преломляются в каждой точке поверхности тела, как от плоскости, касательной к поверхности в этой точке; законы, полученные в предыдущей главе, описывающие падение плоской волны с бесконечным фронтом на плоскую бесконечную границу раздела, применимы к каждому лучу.

Кажущаяся независимость лучей в плоских неограниченных волнах объясняется тем, что во всех точках фазового фронта поле идентично, так что взаимодействия взаимно погашаются. При определенных условиях локальные законы отражения и преломления могут применяться к неплоским и ограниченным телам и волнам. Решение в этом случае будет приближенным, но с достаточно высокой точностью.

Условия применимости метода геометрической оптики можно сформулировать следующим образом:

— радиус кривизны и размеры тела должны быть велики по сравнению с ;

— радиус кривизны фронта падающей волны должен быть велик по сравнению действительный или кажущийся источник должен находиться на расстоянии не менее нескольких от поверхности тела;

— относительное изменение параметров среды и амплитуд поля на расстоянии должно быть намного меньше единицы; по этой причине геометрическая оптика не дает достоверных результатов для поля вблизи фокальных точек и на границе пучка лучей, где величина поля меняется очень резко;

— может рассматриваться только иоле, рассеянное препятствием, очевидно, что в зонах тени и полутени геометрическая оптика неприменима.

Методы геометрической оптики вошли в радиотехнику в связи с задачами об отражении сантиметровых и дециметровых волн от объектов радиолокационного обнаружения. Освоение диапазонов миллиметровых, инфракрасных и видимых волн значительно расширило сферу ее применения.

Уравнения геометрической оптики выводятся из уравнений Максвелла, если ввести некоторые приближения, не приводящие к заметной ошибке при сформулированных выше условиях. Они определяют следующие свойства волны в каждой точке пространства, подобные свойствам плоской однородной волны в неограниченной среде (см. 3.5 и 4.5):

1. Изменение фазы волны в среде без потерь описывается множителем где скалярная функция координат, называемая эйконалом; для плоской волны $(х, [см. ф-лу (6.2)]. Уравнение соотгетствует фазовому фронту волны, в общем криволинейному.

2. Волновой вектор в каждой точке поля

определяет направление движения волны, перпендикулярное фазовому фронту; здесь коэффициент преломления.

3. Фазовая и групповая скорости волны совпадают по величине и направлены вдоль ел.

4. Векторы и ел взаимно перпендикулярны, их направления определяются соотношением Отношение величин этих векторов равно волновому сопротивлению среды:

Из свойств градиента следует, что интеграл по любому пути от (7.30): где угол между ел и равен разности значений эйконала в конечных точках этого пути (рис. 7.12). Если путь интегрирования идет по лучу (например, то

Оптической длиной пути вдоль кривой I называют интеграл Очевидно, что

так как здесь по сравнению с предыдущим интегралом по пути I исключен по модулю не превышающий единицу. Полученное неравенство выражает принцип Ферма: оптическая длина пути вдоль луча меньше, чем вдоль любой другой линии, соединяющей данные две точки. По ф-ле (7.31), пользуясь вариационными методами, можно строить траектории лучей. В однородной среде и условию соответствует прямая линия — кратчайшее расстояние между двумя точками. Лучи в однородной среде прямолинейны.

Изменение интенсивности поля вдоль лучей определим из энергетических соображений, учитывая, что Для этого рассмотрим лучевую трубку — некоторый объем, боковая поверхность которого образована лучами (рис. 7.13).

Рис. 7.12

Рис. 7.13

Эта трубка вырезает в двух эквифазных поверхностях площадки и Будем считать их настолько малыми, что величина вектора Пойнтинга в пределах каждой из них неизменна.

Лучевая оптика основана на принципе независимого распространения лучей: считается, что между разными лучевыми трубками обмен энергией не происходит. Поэтому, если не учитывать потери в среде, поток энергии в данной лучевой трубке неизменен

Предположим, что площади имеют двоякую кривизну, характеризуемую главными радиусами кривизны и эти радиусы определяются в двух взаимноперпендикулярных плоскостях, проходящих через центральный луч, так, чтобы модуль разности оказался максимальным. В однородной среде лучи прямолинейны, поэтому расстояние между эквифазными поверхностями Далее, так как углы между лучами постоянны, поперечное сечение трубки пропорционально произведению радиусов кривизны где для данной трубки. Следовательно,

Для сферической эквифазной поверхности или напряженность поля меняется обратно пропорционально расстоянию; этим свойством обладает, например, поле в дальней зоне элементарных излучателей.

Рассеяние плоской волны шаром. Исследуем в качестве примера отражение плоской волны идеально-отражающим шаром радиуса (рис. 7.14). Пусть плотность потока падающей волны Рассмотрим кольцевую область на поверхности шара, заключенную между полярными углами На эту область падают лучи, соответствующие лучевой трубке кольцевого сечения радиуса и толщиной площадь сечения этой трубки

Рис. 7.14

Отраженный пучок лучей ограничен конусами с углами при вершине Площадь, освещенная этим пучком на концентрической шару сфере радиуса равна

Из соотношения (7.32) получаем

Напряженность рассеянной волны обратно пропорциональна расстоянию и не зависит от направления. Шар рассеивает падающую на него плоскую волну равномерно по всем направлениям

(в областях тени и полутени полученные результаты несправедливы). Поле рассеяния от отражателей иной формы распределяется в пространстве неравномерно.

МЕТОД ФИЗИЧЕСКОЙ ОПТИКИ

Принцип Гюйгенса-Френеля. Метод физической или волновой оптики позволяет в первом приближении определить поле в зоне тени. Он основан на использовании принципа Гюйгенса-Френеля: каждая точка на поверхности, возбуждаемой распространяющейся волной, может рассматриваться как источник вторичной сферической волны; поле вне этой поверхности является результатом интерференции вторичных волн: Указанному принципу соответствует как прямолинейное распространение волн в однородной среде, так и искривление лучей в неоднородной среде и при наличии препятствий. На рис. 7.15 вторичные синфазные источники расположены на сферах Фронты определяются как огибающие волн, исходящих из вторичных источников. Вплоть до лучи прямолинейны, так как фронты являются концентрическими сферами. Однако ограничение фронта препятствием приводит к искажению формы фронтов Можно считать, что вторичные источники, находящиеся вблизи края препятствия, создают волны, направления распространения которых отличаются от первоначального, т. е. наблюдается дифракция волн.

Рис. 7.15

Известный опособ построения на зон (называемых зонами Френеля), разность путей от границ которых до точки наблюдения кратна позволяет получить количественные результаты, относящиеся как к свободному распространению, так и дифракции волн. Этот способ очень нагляден, но в ряде случаев приводит к значительным погрешностям, так как фазы волн, идущих от каждой зоны, считаются одинаковыми, их амплитудами задаются довольно произвольно и считают, что излучение вторичных источников подчиняется законам геометрической оптики.

Г. Кирхгоф вывел соотношения принципа Гюйгенса-Френеля из волновых уравнений и получил выражение для искомого поля в виде интеграла по поверхности от скалярной функции источника, в котором точно учитываются амплитудные и фазовые соотношения для вторичных волн. Большинство современных

электродинамических задач не сводится к скалярному виду. Поэтому чаще используются векторные эквиваленты интеграла Кирхгофа для вторичных источников. Из них наиболее удобна форма, в которой источниками являются электрические и магнитные токи.

Поле электрических и магнитных токов. Предположим, что поверхность разделяет пространство на две области, в каждой из которых имеются свои источники поля (рис. 7.16а).

Рис. 7.16

Поверхность сфера очень большого радиуса Область в частном случае может быть замкнутой (рис. 7.166). Требуется определить поле в произвольной точке области 2.

Поле, создаваемое в точке источниками «2» — объемными электрическими и магнитными сторонними токами определяется следующим образом: находятся векторный электродинамический потенциал электрических сторонних токов А (7.6) и двойственный ему [по ф-ле (7.19) с заменой на векторный электродинамичфкий потенциал магнитных токов

Решение задачи об определении поля в точке от источников 1 по методу волновой оптики разбивают на два этапа. Первый этап — внутренняя задача — сводится к определению поля на поверхности Строгое решение этой задачи без нахождения поля в области 2 невозможно. Поэтому ее решают приближенным методом, например, в теории зеркальных антенн методом геометрической оптики. Второй этап — внешняя задача — состоит в определении поля в области 2 по найденным ранее полям на границе которые считаются вторичными источниками. Необходимые соотношения получаются из (7.33) с переходом от объемных

токов к поверхностным и использованием принципа эквивалентности (7.28), (7.29):

В интегралы (7.34) не включается бесконечно удаленная поверхность так как ее вклад равен нулю, если имеются только выходящие из рассматриваемого объема волны, удовлетворяющие условиям излучения (4.38), векторы которых связаны соотношением:

Искомое поле в точке в общем случае является суперпозицией полей электрических и магнитных сторонних токов внутри области и сторонних полей на ее границе [ф-лы (7.34)]; последние созданы источниками, находящимися вне области .

Электрический и магнитный векторы поля определяются теперь как сумма полей, соответствующих результирующим электрическому и магнитному потенциалам. Для определения напряженностей полей используются ф-лы (7.1), (7.7) и двойственные им [с заменой и других величин по :

Приближения физической оптики. Результаты, получаемые методом физической оптики, неточны, так как в ф-лах (7.34) используются приближенные значения поля или токов на поверхности Пусть эта поверхность представляет собой металлический экран с отверстием 50 либо, как показано на рис. 7.11, металлическое препятствие в свободном пространстве Обычно вводятся следующие допущения:

— предполагается, что поле на 50 равно полю падающей волны в отсутствие каких-либо экранов или препятствий (приближение Кирхгофа);

— токи на освещенной части поверхности определяются по ф-лам (7.28), (7.29) в соответствии с полем только падающей волны, а в ее теневой области считаются равными нулю. В основе метода лежит гипотеза о независимости токов, возбуждаемых в разных точках поверхности

Так как на теневой части поверхности токи считаются равными нулю, ее форма никак не влияет на дифракционное поле,

вычисленное методом физической оптики. Поэтому хорошие результаты получаются только в тех случаях, когда токи в теневой части действительно малы, например, для отверстий в тонких экранах, для плоских препятствий с острыми краями. Во всех случаях влияние токов, затекающих в действительности на теневую сторону препятствия или за края отверстия в экране, на дифракционное поле уменьшается по мере увеличения размеров препятствия по сравнению с

Поле, рассеянное поверхностью от источников «1» (точка помещается в область 1 на рис. 7.16 а), определяется методами физической и геометрической аптики, существу, три тех же предположениях и приводит к тем же результатам. Только при выполнении условий применимости метода геометрической оптики соотношения (7.28), (7.29), справедливые строго лишь для бесконечной плоской поверхности, дают практически точные результаты.

Во многих случаях метод физической оптики дает вполне удовлетворительные результаты для дифракционного поля отверстия в переднем полупространстве, под небольшими углами к нормали (рис. 7.16б). Для углов близких к 90°, и тем более полученные этим методом результаты недостоверны.

ПОЛЕ ИЗЛУЧЕНИЯ ЭЛЕМЕНТА ВОЛНОВОГО ФРОНТА

Элемент Гюйгенса. При использовании метода физической оптики вторичными источниками являются сторонние электрические и магнитные поля Ест, созданные падающей волной на прозрачной части поверхности Они связаны между собой теми же соотношениями, что и в плоской волне:

Если волновое сопротивление вторичных источников на поверхности то созданное вторичными источниками поле удобно рассматривать как сумму волн от весьма малых площадок на поверхности которые будем называть элементами волнового фронта (элементами Гюйгенса). Пусть это будет прямоугольник со сторонами параллельными векторам Ест и стороннее поле в пределах площадки можно считать неизменным (рис. 7.17). В соответствии с ф-лами (7.28), (7.29) данный источник эквивалентен системе взаимно перпендикулярных электрических и магнитных сторонних токов Суммируя эти токи в пределах площадки, получаем излучатель, состоящий из элементарных электрического и магнитного токов (рис. 7.18) с моментами:

Следовательно, поле элемента волнового фронта можно определить как суперпозицию полей электрического и магнитного элементарных излучателей, рассмотренных ранее.

Рис. 7.17

Рис. 7.18

Считаем далее волновые сопротивления среды и источника равными и вещественными, тогда

Поле в дальней зоне. Определим вначале суммарное поле электрического и магнитного, сторонних токов в плоскости компланарной векторам: (рис. 7.19). Ток протекает в этой плоскости, а ток в перпендикулярной ей. Запишем напряженности полей обоих элементарных излучателей в волновой зоне, отсчитывая угол от нормали В соответствии с ф-лами (7.12) электрическое поле элементарного электрического излучателя

где с учетом ф-л (7.37)

Для магнитного излучателя плоскость Е является экваториальной, поэтому его излучение одинаково

Рис. 7.19

во всех направлениях и не зависит от угла Согласно ф-лам (7.21) и (7.37) в обозначениях рис. 7.19 получаем электрическое поле, созданное магнитными токами:

Максимальные значения Ем и (при равны между собой; их направления при совпадают, а при противоположны. Результирующее поле в плоскости

Теперь рассмотрим поле излучения в плоскости коллинеарной векторам Электрический излучатель перпендикулярен этой плоскости, поэтому его поле одинаково во всех направлениях Магнитный излучатель лежит в указанной плоскости и создает направленное излучение с максимумом в направлении Направления этих векторов в верхней полуплоскости также совпадают. Суммарное поле в плоскости

Зависимость величины излучения от угла в обеих плоскостях одинакова и описывается функцией Можно показать, что такая же зависимость получается в любом сечении, проходящем через если угол отсчитывать от этой нормали.

Максимальное электрическое поле при

Фронт волны элемента Гюйгенса — сферический, так как во всех формулах фаза определяется одним и тем же множителем

Магнитное поле в дальней зоне излучения перпендикулярно вектору электрического поля Е и орту оно находится как т. е. пропорционально и синфазно Поскольку эти свойства присущи полям электрического и магнитного излучателя, очевидно, они справедливы и для их суперпозиции.

Диаграмма направленности элемента волнового фронт а. Из полученных соотношений следует, что зависимость напряженности поля от направления выражается функцией:

Она описывает поверхность, образованную вращением кардиоиды вокруг оси (рис. 7.20). Максимум излучения совпадает с направлением вектора Пойнтинга источника. Излучение элемента Гюйгенса однонаправленно, т. е. имеется одно направление максимума (в то время как у электрического и магнитного

излучателей была плоскость максимального излучения). Напряженность поля излучения плавно уменьшается с увеличением модуля угла.

Рис. 7.20

Мощность излучения определяется интегрированием вектора Пойнтинга по-ля излучения

по сфере большого радиуса

Расчет показывает, что 7/8 всей энергии излучается элементом Гюйгенса в переднее полупространство Поэтому указанная ранее недостоверность в определении поля в направлениях оказывается не очень существенной в энергетическом отношении.