14.3. Свойства волноводных узлов и матриц рассеяния

ВЗАИМНЫЙ УЗЕЛ — СИММЕТРИЧНАЯ МАТРИЦА

Переведем теорему взаимности (7.46) на язык нормированных волн. Пусть сторонний ток в точке соответствует амплитуде волны, падающей из плеча, а ток в точке В — амплитуде волны из плеча. Аналогично наведенные напряжения заменим амплитудами выходящих волн. Тогда

Считая, что в каждом опыте все источники, кроме одного, выключены, а плечи нагружены на согласованные сопротивления, получаем для любой пары плеч

Итак, если волноводный узел взаимен (содержит только линейные изотропные элементы), то его матрица рассеяния симметрична.

ПАССИВНЫЙ УЗЕЛ БЕЗ ПОТЕРЬ — УНИТАРНАЯ МАТРИЦА

Узел, в котором отсутствуют источники (сторонние силы), называется пассивным. Если, кроме того, потерь в узле нет, то по закону сохранения энергии суммарная мощность отраженных волн равна суммарной мощности падающих: или в векторной форме Подставим сюда соотношение (14.3): и вынесем за скобки общий сомножитель Так как произвольный вектор, необходимо приравнять нулю выражение во второй скобке. Следовательно,

т. е. матрица рассеяния унитарна и ее элементы подчиняются соотношениям (14.10).

Если узел изотропен и унитарен, то следовательно,

Унитарность матрицы является новой формулировкой закона сохранения энергии для пассивного узла без потерь.

СМЕЩЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ОТСЧЕТА

Предположим, что известна матрица рассеяния для волноводного узла при каком-то определенном положении плоскостей отсчета в каждом плече. Как изменятся элементы этой матрицы при смещении плоскости отсчета в плече на расстояние в положительном направлении оси т. е. по направлению к узлу? Если коэффициент распространения в этом плече, то новое значение комплексной амплитуды падающей волны (отметим его штрихом) определяется как (рис. 14.3) Аналогично для выходящей волны

Если переместить плоскость отсчета в первом плече на во втором на то узел будет характеризоваться новой матрицей рассеяния которая свяжет новые амплитуды:

Волна на выходе с учетом прежней записи (14.1) получим для каждого элемента новой матрицы

Рис. 14.3

Если потери в волноводных плечах малы, их можно не учитывать Тогда изменение положения плоскостей отсчета соответствует изменению только фазы элементов матрицы:

Изменение фазы элемента матрицы рассеяния объясняется укорочением (при пути волны между плоскостями отсчета. Так как выбор положения этих плоскостей произволен и может быть изменен, преобразование (14.22) используется для упрощения матрицы. С его помощью, например, можно сделать некоторые (иногда все) элементы матрицы вещественными.

МАТРИЦА ДВУХПЛЕЧЕВОГО УЗЛА

Рассмотрим свойства матрицы взаимного двухплечего узла без потерь и источников.

Поскольку узел взаимен, матрица симметрична, т. е.

Если в узле нет потерь, то матрица унитарна, следовательно, выполняется равенство (14.20):

По правилу умножения матриц (14.7) и согласно ф-лам (14.10) имеем:

Сравнение (14.23а) и (14.23г) позволяет установить, что модули диагональных элементов одинаковы, т. е. модули коэффициентов отражения в плечах всегда равны между собой:

Фазы их, вообще говоря, могут отличаться. Однако при смещении плоскостей отсчета в плечах независимо меняются фазы

и Гаким способом можно приравнять их фазы, и, в частности, сделать вещественными. Итак, при определенном выборе плоскостей отсчета в плечах коэффициенты отражения равны:

Далее, из ф-лы (14.23а) или непосредственно из уравнений унитарности (14.10) следует соотношение для коэффициентов отражения и передачи двухплечего узла, выражающее закон сохранения энергии:

Подставив равенство (14.25) в (14.236), получим

или

При фаза этих элементов матрицы отличается от фазы недиагональных элементов на 90°. На комплексной плоскости элементы (коэффициент отражения) и (коэффициент передачи) соответствуют катетам прямоугольного треугольника с гипотенузой единичной длины (рис. 14.4).

Назовем канонической матрицу взаимного двухплечего узла с таким выбором плоскостей отсчета, что и они вещественны. Тогда по ф-лам (14.26) и (14.27) .

Все элементы этой матрицы определяются одним вещественным коэффициентом Следовательно, характеристики пассивного узла без потерь полностью известны, если найден коэффициент отражения в одном из плеч.

Рис. 14.4

Ослабление узла в соответствии с определением (11.53) — отношение комплексных нормированных амплитуд волны, приходящей к узлу от генератора, и волны, проходящей в нагрузку (предполагается, что генератор и нагрузка идеально согласованы):

Ослабление по мощности

Ослабление в децибелах

При малых коэффициентах отражения удобна формула