14.2. Операции с матрицами

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Напомним некоторые сведения из теории матриц [3].

Матрицей называют таблицу из элементов (чисел, коэффициентов), имеющую строк и столбцов. В случае матрица называется квадратной порядка Матрица рассеяния -кзадратная.

Вектор или матрица-столбец имеет Например, вектор комплексных амплитуд падающих волн.

Произведением квадратных матриц одного и того же порядка называется матрица того же порядка элементы которой определяются соотношениями

Умножение матриц не коммутативно, т. е. не обладает переместительным свойством. В общем случае

Произведение матрицы на вектор является также вектором. Например, для соотношений (14.1) — (14.3)

Сумма матриц образуется суммированием соответствующих элементов

Единичной матрицей порядка называется квадратная матрица которой диагональные члены равны единице, а остальные нулю. Поэтому Здесь символ Кронекера:

Транспонированная матрица получается из исходной И] путем замены строк столбцами; для каждого элемента матрицы Диагональные элементы при этом не меняются.

Детерминант (определитель) квадратной матрицы вычисляется по обычным правилам теории определителей [5].

Минор элемента равен детерминанту матрицы порядка, образованной вычеркиванием строки и столбца.

Алгебраическим дополнением элемента называется его минор, - взятый со знаком

Присоединенной матрицей для матрицы называется матрица, полученная заменой элементов этой матрицы акт на соответствующие алгебраические дополнения с последующим транспонированием:

Об ратная матрица матрицы обладает свойством Она вычисляется по правилу: т. е. каждый ее элемент равен соответствующему элементу присоединенной матрицы, деленному на детерминант исходной.

Симметричной называют квадратную матрицу, у которой элементы, симметричные относительно главной диагонали равны: Транспонирование не меняет симметричную матрицу

Комплексно-сопряженная матрица имеет все элементы, комплексно-сопряженные с элементами исходной

Унитарной называется матрица, для которой Следовательно, сумма произведений элементов

Для симметричной унитарной матрицы можно записать:

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ

Формулы перехода от волновой матрицы передачи к волновой матрице рассеяния или наоборот для двухплечего узла получаются в результате сопоставления матрицы (14.4) с матрицей второго порядка вида (14.2):

Найдем также формулу перехода от матрицы сопротивлений к матрице рассеяния. Согласно ф-лам (8.52) и (14.3), нормированные напряжения и ток:

Подставим выражения (14.12) в (14.6) и перегруппируем слагаемые

Умножив оправа обе части уравнения на обратную матрицу получим

Аналогичные преобразования позволяют найти формулы для матрицы проводимостей и для обратных переходов:

МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ ШУНТИРУЮЩЕГО СОПРОТИВЛЕНИЯ

Определим -матрицу схемы, изображенной на рис. 14.2 без учета длины соединительных лилий. Уравнение для напряжений и матрица сопротивлений этого соединения имеет вид

В соответствен с (14.13) находим

Рис. 14.2

Далее определяем детерминант присоединенную матрицу

и обратную матрицу

Матрица рассеяния выражается как

т. е.

Итак, матрица рассеядия любого шунтирующего линию сопротивления обладает следующими свойствами:

Верно и обратное: если выполняются условия (14.17), то эквивалентную схему устройства можно представить виде шунта.