14.5. Широкополосные ступенчатые переходы

ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ

Постановка задачи. Рассмотрим переход для согласования активных сопротивлений, состоящий из четвертьволновых секций, характеристическое сопротивление которых меняется по длине перехода (рис. 14.11).

Рис. 14.11

Широкополосность согласования обусловлена в этом случае двумя причинами: уменьшением с ростом коэффициента отражения от каждой ступеньки (скачка характеристического сопротивления) и распределением величин по длине перехода, обеспечивающим их взаимную компенсацию в заданной полосе частот.

Пусть задана рабочая полоса перехода от нижней частоты до верхней допустимый коэффициент отражения от перехода в этой полосе (индекс опускаем), номинальное сопротивление на его входе и сопротивление нагрузки на его конце.

Фазовые соотношения в дисперсных системах удобнее выражать непосредственно через коэффициенты фазы (последнее равенство справедливо для полого волновода). Поэтому определим средний коэффициент фазы относительную расстройку и относительную рабочую полосу

При отсутствии дисперсии, соотношения (14.35) переходят в более привычные:

Длину секции I выбираем равной четверти длины волны На произвольной частоте фазовый сдвиг, соответствующий длине одной секции,

Приближенный метод анализа основан на предположении о малости отражений от каждой ступеньки перехода. Считается, что отраженная волна проходит через другие ступени без вторичных отражений; это позволяет легко суммировать отражение от всех ступеней. Несмотря на явную неточность такого допущения, приближенный метод дает верные результаты в весьма широких пределах. Критерием его справедливости является выполнение неравенства другой оценке правая часть этого неравенства имеет вид: По этому условию при вполне допустим перепад сопротивлений Переходы с высоким при сравнительно небольшом рассчитываются точными методами [22], [35], требующими весьма громоздких вычислений.

Коэффициент отражения от ступеньки определяется по приближенной формуле справедливой для близких к единице [5]. Тогда по

Использование для приближенной логарифмической формулы повышает точность данного метода, так как происходит частичная компенсация погрешностей.

Логарифмический перепад сопротивлений определим через отношение сопротивлений на концах перехода:

он равен сумме коэффициентов отражения от всех его ступенек при синфазном сложении.

Коэффициент отражения от перехода на произвольной частоте определяется как сумма коэффициентов отражения от отдельных ступенек. Перед сложением отнесем фазы всех коэффициентов отражения к сечению в середине перехода. Расстояние ступеньки от этого сечения Поэтому при переносе плоскости отсчета к по ф-ле (14.22) получаем где определяется ф-лой (14.36).

Считаем распределение коэффициентов отражения симметричным относительно середины перехода Тогда коэффициент отражения от перехода

где символ Кронекера [ф-лы (14.9)].

Последнее слагаемое в этом выражении учитывается только для переходов с четным числом секций, когда в его середине оказывается ступенька, не имеющая пары.

При длина секций перехода становится равной половине длины волны, на очень низких частотах В обоих случаях коэффициенты отражения от всех ступенек складываются в фазе. Действительно, при этом или 0;

Переход не улучшает согласование на соответствующих частотах, а также при

Теперь воспользуемся разложением в ряд по степеням [см. 11, ф-ла (1.331.3)]:

Тогда коэффициент отражения от перехода [ф-ла (14.39)] можно представить полиномом степени относительно:

где новая переменная, зависящая от частоты.

Этот полином содержит члены только той же четности, что и число секций перехода Такое суммирование обозначим значком

Коэффициенты полинома определяются по ф-лам (14.39) и (14.40) через Число указанных коэффициентов совпадает с

числом независимо выбираемых при их симметричном распределении. Можно показать, что это обеспечивает свободу в выборе соотношений между всеми их абсолютные величины должны быть таковы, чтобы удовлетворялось условие при Рассмотрим два типа переходов с оптимальными частотными характеристиками.

ПЕРЕХОД С МАКСИМАЛЬНО ПЛОСКОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ

Частотная характеристика коэффициента отражения. Положим в а все остальные коэффициенты тогда При коэффициент отражения Так как в этом случае то Следовательно, Тогда

На краях рабочей полосы частот

Необходимое число секций перехода определим из неравенства Величину можно считать коэффициентом уменьшения отражения от нагрузки.

Выражение (14.43) описывает максимально плоскую амплитудно-частотную характеристику коэффициента отражения от перехода: на средней частоте при не только но и его производных по частоте равны нулю. На рис. 14.12 показано семей: ство таких характеристик при разном числе секций (в качестве примера, линия проведена на уровне 0,1). Здесь же для сравнения приведена характеристика четвертьволнового трансформатора Во всех случаях по мере удаления от согласование между переходом и линией ухудшается. С ростом ширина частотной полосы перехода увеличивается. Рассмотренный тип перехода вносит незначительные фазовые искажения.

Рис. 14.12

Переход с максимально плоской характеристикой применяется в тех случаях, когда в середине рабочей полосы частот требуется особенно хорошее согласование или малые фазовые искажения передаваемого сигнала.

Выбор значений Равенство нулю всех членов полинома (14.42), кроме старшего, требует, чтобы коэффициенты отражения от ступенек перехода были пропорциональны биномиальным коэффициентам переход называют также биномиальным):

Известно, что коэффициенты бинома Ньютона можно определить из треугольника Паскаля [5]:

Сумма биномиальных коэффициентов Сопоставим с (14.38)

Отсюда определяется коэффициент а затем по ф-ле (14.44) — все остальные коэффициенты С помощью ф-лы (14.37) последовательно вычисляются характеристические сопротивления всех секций: через затем через

ПЕРЕХОД С ЧЕБЫШЕВСКОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ

Частотная характеристика. Длину перехода можно сократить по сравнению с биномиальным, если синтезировать в пределах рабочей полосы частот равнопульсирующую характеристику (рис. 14.13), которая описывается полиномом (функцией) Чебышева:

где максимальный по модулю коэффициент отражения в рабочей полосе частот; функция Чебышева первого рода порядка [3]:

Эта функция в интервале не превышает значений ±1; вне этого интервала она неограниченно растет по модулю,

причем тем быстрее, чем больше (рис. 14.14). Для каждого значения существует представление в виде полинома степени, справедливое при любом значении

Рис. 14.13

Рис. 14.14

В рабочей полосе частот если на ее краях Сопоставляя и (14.46) — (14.48), заключаем, что для этого следует положить

При и аргумент достигает своего максимального значения. Тогда

Отсюда максимальный коэффициент отражения в рабочей полосе перехода:

Условие позволило определить также число секций обеспечивающее заданное согласование.

Чебышевская характеристика в рабочей полосе частот в среднем ближе к допустимому пределу чем максимально плоская. Более полное использование допуска на согласование приводит к меньшему числу секций и меньшей длине перехода.

Фазовые искажения, вносимые чебышевским переходом, растут с увеличением пульсаций. При пульсации фазовые

искажения чебышевского перехода соответствуют либо даже меньше, чем у перехода с максимально плоской характеристикой.

Заметим, что при расчете переходов с равнопульсирующей характеристикой часто целесообразно разрешать на краях рабочей полосы большие значения чем величина пульсаций , что при той же длине перехода позволяет несколько расширить полосу частот.

Выбор значений Сопоставляя ф-лы (14.39) и (14.48), с учетом (14.40), (14.46), (14.50) можно один за другим определить коэффициенты отражения от ступеней. По анадргии с (14.44) и (14.45) запишем результат в виде

где коэффициенты определяются из модифицированного треугольника Паскаля:

Модифицированные биномиальные коэффициенты

Коэффициенты зависят от относительной полосы частот и определяются соотношениями

Характеристические сопротивления секций перехода определяются соотношением (14.37). Все уменьшаются с увеличением рабочей полосы частот, причем Поэтому распределение по длине перехода более равномерно, чем в предыдущем случае; следовательно, более эффективно используются крайние ступеньки. Сопоставим полосы пропускания переходов с чебышевской и максимально плоской характеристиками при десятикратном улучшении согласования (табл. 14.1).

Особенно резко полоса пропускания увеличивается в том случае, если четвертьволновый трансформатор заменяется двухсекционным переходом. При и данном рабочая полоса чебышевского перехода примерно в раза шире, чем биномиального.

Наилучшим ступенчатым переходом является чебышевский, который обеспечивает заданный коэффициент отражения при минимальном числе секций.

Таблица 14.1 (см. скан) Относительная полоса пропускания при