9.2. Волноводы прямоугольного сечения

ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ Е-ВОЛН

Анализ волновода прямоугольного сечения (рис. 9.1) проводится в декартовой системе координат, так как при этом границы волновода легко совмещаются с координатными поверхностями. Решение граничной задачи для -волн должно удовлетворять волновому уравнению для составляющей и граничным условиям на стенках волновода (считаем их идеально проводящими). Уравнение (8.14) записывается в декартовой системе координат как

Рис. 9.1

Продольная составляющая поля является касательной к поверхности стенок волновода. На границе с идеальным проводником касательная составляющая электрического поля согласно ф-ле (2.27) равна нулю, следовательно,

где С — контур волновода в поперечном сечении.

Искомая функция в ур-нии (9.8) зависит от двух аргументов х и у. Уравнение этого типа решается методом разделения переменных: искомая функция представляется в виде произведения двух

функций, каждая из которых зависит от одного аргумента. Запишем

подставим ф-лу (9.10) в исходное ур-ние (9.8), обозначив производные функций одной переменной штрихами: разделим полученное равенство почленно на

Уравнение (9.11) состоит из трех слагаемых: первое из них зависит только от переменной х, второе — только от переменной у, а третье — не зависит от этих переменных. Это уравнение должно удовлетворяться в любой точке поперечного сечения волновода. В частности, можно двигаться параллельно оси х, сохраняя Второе и третье слагаемые при этом постоянны. Но и первое слагаемое не может меняться, не нарушая ур-ние (9.11). Следовательно, данное уравнение удовлетворяется лишь в том случае, если все его слагаемые постоянны (в функции от Обозначим

Тогда ур-ние (9.11) превращается в уравнение для поперечных коэффициентов:

где поперечный коэффициент по оси поперечный коэффициент по оси

Дифференциальные ур-ния (9.12) являются линейными уравнениями второго порядка решения которых хорошо известны [5]:

Функции и должны удовлетворять граничным условиям (9.9), т. е. при при Следовательно, если положить в Требуется также, чтобы при равнялись нулю синусы соответствующих аргументов, т. е. вдоль каждой стороны волновода укладывалось целое число полуволн синусоиды. Следовательно, аргументы синусов: где — целые положительные числа. Ни одно из них нельзя принять равным нулю, так как тогда тождественно обращается в нуль. Итак, для поперечных коэффициентов по осям должны выполняться соотношения:

Обозначив и введя по (8.1) зависимость поля волны от представим окончательно решение для продольной, составляющей поля в виде

ТИПЫ Е-ВОЛН

Найденное решение существует только при определенных значениях поперечных коэффициентов В свою очередь, согласно ур-нию (9.13), они определяют поперечный волновой коэффициент волновода Эта величина зависит от выбора чисел Соотношение (9.1) позволяет найти критическую частоту и критическую длину волны:

Каждой комбинации тип соответствует своя структура поля т. е. определенный тип волны, который именуется Первый индекс определяет число полуволн в структуре укладывающихся вдоль оси а второй число полуволн вдоль оси Чем больше значения тип, тем выше т. е. требуется большая частота колебаний для существования волны соответствующего типа. В волноводе заданных размеров на данной частоте может распространяться конечное число типов волн (а может быть и ни одного).

Поперечные составляющие поля волны Запишем поперечный градиент от в прямоугольной системе координат:

Из ф-л (8.15) при и (9.16) получаем:

так как

В поперечной плоскости электрическое и магнитное поля имеют по две компоненты каждое, параллельные осям Рисунок линий поля образует в этой плоскости повторяющийся орнамент.

Поле волны Простейшая волна рассматриваемого класса с минимальными индексами обозначается как Она имеет минимальную критическую частоту из всех -волн- Эпюра распределения амплитуды для этой волны в поперечной плоскости представляет собой куполообразную поверхность (рис. 9.2); любое ее вертикальное сечение — синусоида.

Эта эпюра представлена в том сечении, где составляющая максимальна. Линии поля начерчены в сечении, отстоящем на от первого, так как множитель в ф-лах (9.18) свидетельствует об отставании поперечных составляющих поля от продольных на 90° или четверть волны. Вектор пропорционален градиенту в поперечной плоскости, т. е. крутизне ската куполообразной поверхности — эпюры Эта крутизна максимальна у стенок волновода и направлен перпендикулярно им. В центре волновода крутизна ската и составляющая равны нулю; изображена с помощью линий поля. В том же сечении представлена семейством линий, перпендикулярных линиям Их направление обеспечивает положительную величину составляющей вектора Пойнтинга

Поле в промежуточных сечениях является суперпозицией полей при Магнитное поле всюду подобно изображенному. Электрическое поле имеет продольную и поперечные составляющие. На рис. 9.2 показано, что линии электрического поля постепенно меняют свое направление от продольного к поперечному.

Рис. 9.2

Рис. 9.3

На рис. 9.3 представлены поперечные и продольные разрезы поля той же волны. Рисунок каждой последующей четверти волны является зеркальным изображением предыдущей. Здесь линии электрического поля сплошные, а магнитного — пунктирные.

Черными кружками изображены линии, направленные к читателю, белыми — от него.

Рисунок поля любой волны образуется повторением рисунка поля волны с изменением в шахматном порядке направления его линий.

Рис. 9.4

Это видно, например, из сопоставления рис. 9.3 для волны и рис. 9.4 для волны

Н-ВОЛНЫ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ВОЛНОВОДЕ

Решение для Волновое ур-ние (8.16) для имеет вид

Оно решается методом разделения переменных. Общее решение соответствует (9.10) и (9.14):

На границе с идеальным проводником касательная составляющая магнитного поля, согласно достигает экстремума:

или

При этом и необходимо выполнение условий для и идентичных (9.15).

Следовательно, для и Н-волн выражения для поперечного коэффициента критической частоты и критической длины волны (9.17) одинаковы. Продольная составляющая поля -волны изменяется в поперечном сечении по закону

Поперечные составляющие поля волны определяются по ф-лам (8.17):

Типы волн. В данном случае допустимо, чтобы или были равны нулю. Тогда поле не меняется по одной из координат. Однако, если положить одновременно то в поперечном сечении, что в соответствии с ф-лой (9.23) приводит к нулевым поперечным составляющим, свидетельствует об отсутствии электромагнитной волны. Следовательно, простейшие волны этого класса с минимальными индексами:

Основная волна. Волну, обладающую в волноводе данной формы минимальной критической частотой, называют основной.

Наименьшие индексы у волн По ф-ле (9.17) Если то и критическая частота волны меньше, чем критические частоты волн и всех остальных волн с еще более сложной структурой. Поэтому волна в прямоугольном волноводе с является основной, а все остальные типы волн именуют волнами высших порядков.

Согласно ф-лам (9.22) и (9.23) поле волны имеет только три составляющих:

Структура волны показана на рис. 9.5 в трех проекциях. На рис. 9.6 дано объемное изображение электрического поля этой

Рис. 9.5

волны в виде функциональной поверхности для фиксированного момента времени.

Н-волны высших порядков. Структура поля волн получается повторением картины волны по оси раз, если менять каждый раз направление линий напряженности поля. Структуры поля если образуются простым поворотом предыдущих изображений на т. е. переменой осей х и у.

Рис. 9.6

Рис. 9.7

Для образования остальных типов волн класса исходной является волна Ни (рис. 9.7). Повторяя эту структуру по горизонтали и вертикали с переменой в шахматном порядке направлений линий поля, можно получить поле любой -волны.

ОБЩИЕ СВОЙСТВА ПОЛЯ E- И H-ВОЛН В ВОЛНОВОДАХ

Структуру поля любой волны нетрудно представить графически по известному распределению продольных составляющих, основываясь на общих ф-лах (8.15) или (8.17) и не обращаясь к полному аналитическому описанию поля. Необходимо лишь учитывать следующие свойства полей в волноводе (при отсутствии потерь):

1. Составляющие отстают по фазе от продольных или на 90°. Перейдя к мгновенным значениям поля, получим следующие законы изменения его составляющих в функции от

Если максимум продольной составляющей при находится при то максимум поперечных составляющих в этот же момент соответствует значениям т. е. Таким образом, по длине волновода чередуются (с интервалом области

поперечной и продольной ориентации поля. В промежуточных сечениях электрический (для -волн) или магнитный (для Н-волн) вектор натравлен наклонно к оси волновода. Поле в произвольной точке для -волн, а для -волн):

2. Для -волн вектор пропорционален и коллинеарен для -волн

3. Поперечная составляющая поля синфазна с поперечной составляющей поля Е и пропорциональна ей. Эти составляющие, кроме того, перпендикулярны друг другу. Взаимное расположение должно обеспечить совпадение направления вектора Пойнтинга и направления распространения волны.

КРИТИЧЕСКАЯ ЧАСТОТА

Как следует из ф-лы (9.17), критическая частота волны любого типа зависит от размеров волновода и сложности структуры волны, т. е. численных значений индексов При заполнении волновода каким-либо диэлектриком с критические частоты всех типов волн понижаются пропорционально

Рис. 9.8

На рис. 9.8 графически показаны критические размеры волновода для простейших типов волн. В табл. 9.1 приведены значения для одного из стандартных размеров волновода.

Если размеры волновода на данной частоте пригодны для распространения какой-либо волны высшего порядка, то выполняются условия распространения для всех волн более низкого порядка, включая основную. Например, на частоте в данном волноводе распространяются волны типа Критические частоты и -волн с одинаковыми индексами совпадают.

Если два или более типа волн в волноводе имеют одинаковую частоту, то они называются вырожденными. Все параметры вырожденных волн, приведенные в параграфе 9.1, совпадают. В данном случае вырожденными являются волны

Таблица 9.1 (см. скан) Критическая частота и критическая длина волны 18 типов волн в прямоугольном волноводе с размерами

и т. д. Если размеры волновода сделать кратными, например, то появляются новые группы вырожденных волн:

ТОКИ В СТЕНКАХ ВОЛНОВОДА

Тангенциальная составляющая магнитного поля достигает максимума у стенок волновода. Это следует из граничных условий (2.32) для идеального проводника. Известно, что наличие проводящей стенки вызывает в идеальном проводнике поверхностный ток Такой же эквивалентный поверхностный ток в реальном проводнике проникает на небольшую глубину от его поверхности (нормаль направлена из диэлектрика в металл).

Линии магнитного поля у стенки волновода имеют довольно сложный рисунок. Линии тока всюду перпендикулярны линиям и образуют картину, являющуюся своеобразным отображением картины линий Рассмотрим, например, поле волны На рис. 9.5 изображена структура этого поля. Соответствующая ему структура токов представлена на рис. 9.9. Процесс распространения волны состоит в том, что эта картина движется с фазовой скоростью вдоль оси волновода. На отдельных участках направления токов противоположны направлению распространения волны; это явление обычно для любой электромагнитной волны, распространяющейся вдоль проводников.

Рис. 9.9

Распределение тока по стенкам волновода важно знать при его конструировании. Большая плотность поперечных токов через ребро волновода при волне требует хорошей проводимости этих участков. У -волн магнитное поле не имеет продольной составляющей следовательно, у токов нет поперечной компоненты; токи текут только в продольном направлении.

При исследовании и контроле режима волны в волноводе приходится прорезать в нем узкие щели. Эти щели не вызывают заметных потерь на излучение только в том случае, если они расположены вдоль линий тока и не пересекаются токами в течение всего периода колебаний. Неизлучающие при распространении волны о щели показаны на рис. 9.10.

Рис. 9.10.

Рис. 9.11

Часто возникает обратная задача — создание излучающей щели на рис. 9.10), которая является элементом щелевой волноводной антенны или используется для ввода энергии в волновод. Излучающая щель хотя бы часть периода пересекается линиями тока.

Тепловые потери в стенках волновода в большой степени определяются качеством обработки его внутренней полости. Толщина скин-слоя в сантиметровом диапазоне меньше одного микрона, поэтому неровности такой же величины заставляют ток течь по извилистой кривой (рис. 9.11). Если в среднем крутизна получившихся склонов составляет 45°, то путь тока и потери в волноводе увеличиваются примерно в У 2 раз. Кроме тщательной шлифовки поверхности волновода, обязательна защита, ее от коррозии, для чего поверхность серебрят (на стенках образуется плотный тонкий слой серебра) и покрывают защитными лаками.

Активная составляющая поверхностного сопротивления стенок волновода увеличивается за счет их шероховатости в раз по сравнению с определяемой ф-лой (6.25), т. е.

Величина зависит от качества обработки проводящих поверхностей и растет с частотой. В диапазоне сантиметровых волн .

КОЭФФИЦИЕНТ ЗАТУХАНИЯ ВОЛН В ВОЛНОВОДЕ

Составляющая коэффициента затухания обусловленная диэлектрическими потерями, рассчитывается по простой ф-ле (8.42) пригодной для -волн в металлических волноводах. Чаще всего волноводы заполняются воздухом, причем принимаются меры для его очистки от пыли и влаги. В этом случае диэлектрические потери значительно меньше потерь в металле и могут не приниматься во внимание.

Составляющая коэффициента затухания, обусловленная потерями в металлических стенках волновода, рассчитывается по ф-ле (8.45). Для упрощения записи перейдем к нормированным волнам [см. ф-лы (8.46), (8.48)]:

Найдем коэффициент затухания основной волны структура поля которой была рассмотрена выше [ф-ла (9.24)]. Прежде всего, нужно перейти к нормированным значениям полей, для чего по ф-ле (8.25) определим мощность волны при произвольном коэффициенте

Отсюда находим нормированное значение коэффициента в соотношениях (9.24):

где мощность введена в ф-лу (9.29) для сохранения размерности. В интеграле (9.27) фигурируют лишь составляющие магнитного поля, касательные к стенкам волновода. Вдоль горизонтальных стенок, т. е. при и согласно ф-лам (9.24), существуют составляющие а вдоль вертикальных ) — только Величины полей у противоположных стенок равны между собой. Учитывая согласно ф-лам (8.4) и (9.5), что а для внутренней среды находим коэффициент затухания волны типа

Первый сомножитель в полученном выражении зависит от частотного диапазона: В большинстве случаев так как размеры стандартных волноводов выбираются обратно пропорциональными частоте, поэтому Второй сомножитель одинаков для волноводов любого диапазона при соблюдении пропорций между сторонами о и 6 и соотношений между частотами . В частности, для волны типа в одномодовом волноводе этот сомножитель меняется в пределах от 1,0 до 0,7, т. е. имеет порядок единицы. Таким образом, зависимость затухания от частоты определяется первым сомножителем. Коэффициент затухания стандартных прямоугольных волноводов пропорционален

Рис. 9.12

Если теперь обратиться к конкретному типу волновода с. фиксированными размерами, то получим частотную характеристику затухания, показанную на рис. 9.12, с пологим минимумом при Увеличение затухания вблизи критической частоты пропорционально Оно связано с уменьшением групповой скорости волны по мере приближения к затухания при высоких частотах пропорционален Для оценки величины коэффициента затухания прямоугольного волновода с волной типа вычислим длину волновода, имеющего затухание (табл. 9.2). Его кпд при полном согласовании а шумовая температура при Результаты расчета сведены в табл. 9.2.

Таблица 9.2 (см. скан) Длины стандартных медных волноводов с затуханием при в зависимости от частоты

Из этой таблицы видно, что в низкочастотной части сантиметрового диапазона такой волновод может иметь длину порядка В диапазоне длина волновода практически ограничена десятками метров, а в миллиметровом диапазоне затухание волновода становится слишком большим даже для коротких фидеров, соединяющих отдельные блоки аппаратуры.

ВЫБОР РАЗМЕРОВ ОДНОМОДОВОГО ВОЛНОВОДА

Найдем размеры прямоугольного волновода, обеспечивающего передачу волны типа с приемлемыми параметрами в диапазоне частот от до и отсечку всех волн высших порядков. Для такого волновода должно выполняться условие: Оя-нако выполнения этого условия еще недостаточно. Из рис. 8.12 и 9.12 видно, что в диапазоне от дисперсия и коэффициент затухания волны в волноводе велики. Сигнал сильно искажается (см. 8.6) и ослабляется. Поэтому выберем

Появления волн высших порядков следует опасаться на верхних частотах диапазона. В зависимости от соотношения между ближайшими критическими частотами обладают волны типа или (см. табл. 9.1). Следовательно, нужно, чтобы

В соответствии с ф-лой Тогда из первого неравенства вытекает, что Чтобы второе неравенство не дало меньшего значения нужно выбрать Коэффициент затухания волны растет с уменьшением размера поэтому желательно выбрать или близким к этой величине.

Итак, одномодовый режим с умеренной дисперсией и приемлемыми коэффициентами затухания осуществим на волне типа в диапазоне частот

В соответствии с условиями и относительная полоса одномодового режима где

На основе этих принципов разработан стандартный ряд волноводов, перекрывающий частотный интервал их практических применений.