6.6. Скин-эффект в круглом цилиндрическом проводе

СЛАБЫЙ СКИН-ЭФФЕКТ

Многие типы линий передач электромагнитной энергии состоят из двух или нескольких цилиндрических проводов. Рассмотрим, к каким последствиям приводит скин-эффект в одиночном прямолинейном проводнике (рис. 6.8).

Постоянный ток, как известно, распределяется по сечению проводника равномерно и поэтому сопротивление на единицу длины провода вычисляется по формуле

где площадь поперечного сечения проводника.

Рис. 6.8

Пока [ф-ла (3.44)] больше, чем радиус провода а, поле хорошо проникает в проводник, заполняя его почти равномерно по сечению. Это значит, что в определенном диапазоне частот, начиная с самых низких, распределение плотности тока почти не отличается от распределения при постоянном токе и можно использовать ф-лу (6.29). Расчеты показывают, что указанная формула применима до тех пор, пока Это область слабого скин-эффекта.

СИЛЬНЫЙ СКИН-ЭФФЕКТ

Если радиус проводника велик по сравнению с толщиной скин-слоя: можно применить к криволинейной поверхности проводника условие Леонтовича и полученные выводы теории скин-эффекта для плоской границы.

Исходя из ф-лы (6.25), активную составляющую сопротивления провода на единицу длины рассчитываем, как сопротивление его скин-слоя толщиной постоянному току:

где поперечное сечение скин-слоя проводника.

Реактивное сопротивление при сильном скин-эффекте равно по величине активному. Следовательно, полное сопротивление проводника комплексно и определяется выражением

По мере увеличения частоты толщина скин-слоя уменьшается и сопротивление провода растет. Формулы (6.29) и (6.30) не охватывают всех возможных частот. Заполнить этот пробел можно лишь строгим решением задачи.

ОБЩИЙ СЛУЧАЙ

Рассмотрим распространение электромагнитной ТЕМ-волны вдоль одиночного цилиндрического проводника (рис. 6.8). Поле волны обладает осевой симметрией и имеет в диэлектрике составляющие вектор направлен вдоль оси провода и определяет энергию, переносимую волной.

Преломляясь на границе с проводником, затухающая волна распространяется в нем по нормали к поверхности; ее составляющие в проводнике также симметричны относительно оси;

вектор направлен рвдиально и соответствует тепловым потерям волны. Плотность тока в проводе, как и электрическое поле, имеет только продольную составляющую Составляющая электрического поля должна удовлетворять в любой точке однородному волновому ур-нию где для проводника, согласно

Решим волновое уравнение в цилиндрической системе координат. Для этого представим лапласиан по ф-ле (3.19). Поле симметрично, поэтому Так как т. е. и скорость изменения толя радиусу внутри провода значительно больше, чем вдоль линии, и можно считать Тогда

Внося это значение в волновое уравнение и разделив его почленно на получим

Это — дифференциальное уравнение Бесселя нулевого порядка с комплексным аргументом Из двух возможных решений данного уравнения функция Вебера отпадает: при она принимает бесконечные значения, а бесконечные значения поля на оси проводника физически нереальны. Следовательно, электрическое поле записывается через функцию Бесселя где Напряженность поля на поверхности проводника обозначим через Тогда постоянная .

Введем безразмерный параметр и выразим через него аргумент функции Бесселя:

Функция Бесселя комплексного аргумента также комплексна: Численные значения приведены в таблицах (см. например, [37]). Так как модули представляются формулой

На рис. 6.9 представлены графики распределения плотности тока по сечению проводника, вычисленные по ф-ле (6.31) при различных отношениях Они отражают особенности скин-эффекта в круглом проводнике. Волны распространяются к оси проводника по радиусам навстречу друг другу. Поэтому напряженнность поля и плотность тока уменьшаются с увеличением расстояния от границы проводника медленнее, чем при плоской граничной

поверхности. Полный ток I в проводнике определим интегрированием по его поперечному сечению. Вследствие осевой симметрии интеграл по углу дает Поэтому

Неопределенный интеграл вида является табличным Следовательно, ток Напряжение на единицу длины провода равно Поэтому комплексное сопротивление одного метра провода

Рис. 6.9.

Рис. 6.10

Удобно отнести к сопротивлению того же проводника постоянному току (ф-ла (6.29)]; заменим также аргументы через

Теперь несложно определить вещественную и мнимую часги сопротивления провода единичной длины

Сопротивления рассчитывают с помощью таблиц численных значений модуля нормированного комплексного сопротивления и фазового угла при различных х (см. [37, табл. 64]). Можно непосредственно использовать графики рис. 6.10, рассчитанные по ф-ле (6.33). С ростом частоты обе компоненты увеличиваются, причем фазовый угол растет от О до 45°.

С помощью асимптотических формул для малых аргументов функций Бесселя получим из ф-лы (6.32) приближенные соотношения:

или

Точные ф-лы (6.33) дают возможность вычислить погрешность приближенных соотношений. Так, использование ф-лы (6.29) в пределах приводит к ошибке до 0,3% по модулю и до 3,5° по фазе. Формула (6.34) при дает погрешность менее 0,5% для и менее 5% для Формула (6.30) при дает ошибку на 7% для и 1% для эта ошибка уменьшается с ростом