3.5. Плоские волны в неограниченных средах

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Важнейшие свойства электромагнитных волн рассмотрим на простейшем примере плоской однородной волны, распространяющейся вдоль оси в однородной изотропной среде.

Введем ряд определений. Фазовым фронтом волны называют поверхность, проходящую через точки с одинаковыми фазами. По форме этой поверхности определяют, например, сферическую или цилиндрическую волну. У плоской волны эквифазная поверхность представляет собой плоскость Волна называется однородной, если ее амплитуда постоянна во всех точках фазового фронта, и неоднородной, если ее амплитуда зависит от координат точек фазового фронта.

Анализ однородной плоской волны естественно проводить в декартовой системе коофдинат. Ее поле по определению не зависит от поперечных координат х и у, следовательно, и лапласиан в волновых ур-ниях (3.22) согласно (3.19) и (3.20) превращается во вторую производную

РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ

Решим при этих условиях ур-ние (3.22) для вектора предполагая направление во всех точках неизменным. Из волнового уравнения получаем обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка:

его общим решением является суперпозиция двух частных решений:

где произвольные комплексные коэффициенты, определяемые граничными условиями.

Напомним, что коэффициент распространения к согласно ф-ле (3.21) — комплексная величина; учтем также выражения (3.8) и (3.10). В результате получим

где коэффициент затухания волны в среде; — коэффициент фазы волны в среде.

Составляющие коэффициента распространения определяются в общем случае из Для этого нужно возвести в квадрат обе части равенства и решить получившуюся систему уравнений; в результате имеем:

где

ПРЯМАЯ И ОБРАТНЫЕ ВОЛНЫ

Запишем уравнение (3.24) с учетом соотношения (3.25):

Согласно мгновенные значения напряженности поля:

Аргументами этих выражений служат функции времени и пространства вида указывающие на волновой характер поля, на его движение. Скорость движения фазового фронта волны называется фазовой. Ее находят из уравнения движения любой точки на этом фронте, фаза которой неизменна, например, для первого слагаемого

Дифференцирование этого выражения по дает откуда фазовая скорость

Рис. 3.1

Выражение (3.28) определяет скорость фазового фронта волны, распространяющейся вдоль оси в положительном направлении, в сторону растущих значений координаты Назовем ее прямой волной. Амплитуда прямой волны по мере ее движения экспоненциально уменьшается пропорционально что объясняется поглощением энергии в среде за счет электрических и магнитных потерь.

При напряженность поля в раз меньше, чем при Введем также коэффициент затухания выраженный в децибелах на метр Тогда можно во всех формулах ввести замену При и напряженность поля уменьшается в 1,12 раз.

Для фронта с фазой во втором слагаемом выражения (3.27) справедливо уравнение: которому соответствует отрицательная фазовая скорость Этот фронт принадлежит обратной волне, бегущей в сторону отрицательных значений (справа налево на рис. 3.16). Амплитуда обратной волны также уменьшается по мере ее движения пропорционально т. е. с уменьшением

Заметим, что скорости и коэффициенты затухания прямой и обратной волны одинаковы. Поэтому будем в дальнейшем рассматривать только прямую волну, считая, что условия опыта не допускают возникновения обратной волны, т. е. что Это соответствует предположению, что источник волн на рис. 3.1 находится на отрицательной полуоси слева от рассматриваемой области.

ДЛИНА ВОЛНЫ И ВОЛНОВОЙ ВЕКТОР

Согласно запишем действующее значение поля прямой волны, опустив индекс

Длиной волны называется расстояние между двумя фазовыми фронтами волны, различающимися по фазе на 2? (например, расстояние между ближайшими максимумами напряженности поля, измеренное вдоль направления распространения волны).

Если принять то откуда

Назовем перпендикуляр к фронту волны лучом. Его направление обозначим ортом оно совпадает с направлением фазовой скорости Введем волновой вектор

совпадающий с направлением луча и равный по величине коэффициенту распространения волны в данной среде.

НАПРАВЛЕНИЯ И ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ВЕКТОРОВ Е И Н

Найдем направление вектора используя условия и соотношение (3.15): т. е. или

что совместимо с лишь в случае Продольная составляющая электрического поля равна нулю. Вектор Е перпендикулярен направлению распространения волны k.

Магнитную составляющую поля Н найдем с помощью второго уравнения Максвелла (3.14). Так как вектор имеет только поперечную составляющую и зависит лишь от координаты

2, его ротор перпендикулярен как так и Следовательно,

где орт, указывающий направление вектора Очевидно, что (см. рис. 3.2).

Электро магнитная волна, у которой векторы взаимно перпендикулярны и перпендикулярны направлению распространения к, называется поперечной или ТЕМ-волной. Обе продольные составляющие поля у ТЕМ-волны равны нулю: Рассматриваемая волна принадлежит к этому классу.

Рис. 3.2

Так как направление распространения определяется правилом правого винта, вращающегося по кратчайшему пути от

Отношение комплексных величин напряженностей электрического и магнитного полей в ТЕМ-волне называется волновым сопротивлением среды Согласно ф-лам (3.32) и (3.21),

Из (3.32) и (3.33) следуют векторные соотношения:

Вследствие подобия и (3.29) мгновенные значения магнитного поля Н меняются в функции по закону, аналогичному (3.27) для Магнитный вектор в бегущей электромагнитной волне пропорционален по величине электрическому и отстает от него по фазе на угол что соответствует на рис. 3.2.