8.6. Скорости волны. Дисперсия. Мощность

ФАЗОВАЯ СКОРОСТЬ

Фазовая скорость волны была определена ранее как скорость движения фазового фронта. Фазовую скорость волны в направляющей системе найдем по ф-лам (3.28) и (3.30), в которых заменяется на :

где волновое число и скорость распространения парциальной волны во внутренней среде волновода на рис. 8.4 и 8.8). Здесь учтены соотношения (8.19), (8.21) и (8.23). Фазовая скорость При воздушном заполнении металлического волновода тогда Согласно теории относительности материя не может перемещаться со скоростью, превышающей скорость света с. Уже поэтому фазовая скорость не может являться скоростью движения электромагнитной волны, представляющей собой

одну из форм материи. Что это действительно так, видно из рис. 8.10. На нем изображены гребни (максимумы) двух встречных парциальных волн в моменты времени Если фронт каждой волны продвигается на то точка их пересечения — максимум поля волны в волноводе — проходит значительно большее расстояние Из рисунка видно, что максимум образуется все новыми участками фронта парциальных волн.

Рис. 8.10

Рис. 8.11

Простое подобие фазовой скорости можно найти, наблюдая морской прибой (рис. 8.11). Гребни волн движутся к берегу наклонно со скоростью Если наблюдать движение прибоя вдоль берега, т. е. точки касания берега гребнем волны, можно заметить, что скорость этого движения больше скорости волны, а при движении волн перпендикулярно берегу, когда гребень достигает всей береговой линии одновременно, фазовая скорость бесконечно велика.

Рис. 8.12

Фазовая скорость является скоростью движения интерференционной картины, образованной суммой парциальных волн в волноводе. С движением материи (и энергии как меры этого движения) она не связана.

В любом волноводе угол падения парциальных волн растет с частотой, приближаясь в пределе к 90°, поэтому соответственно зовая скорость уменьшается, стремясь асимптотически к В металлическом волноводе на критической частоте следовательно, В диэлектрическом волноводе на граничной частоте и фазовая скорость равна скорости однородной волны в воздухе: (рис. 8.12).

МОЩНОСТЬ НАПРАВЛЯЕМОЙ ВОЛНЫ

Мощность волны, передаваемой направляющей системой, определяется интегрированием среднего значения вектора Пойнтинга по поперечному сечению системы что соответствует ф-лам (4.3) и

Здесь учтена синфазность составляющих Два последних равенства справедливы для и -волн согласно ф-лам (8.15) и (8.17). Для ТЕМ волн в этих же равенствах следует согласно (8.12) заменить на

ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ СКОРОСТЬ

Скорость движения поля обычно отождествляют с энергетической скоростью волны так как движение материи определяется ее энергетическими характеристиками. Эта скорость относится к волне в целом и одинакова во всех точках поперечного сечения В каждой точке соблюдается равенство (4.30). Интегрируя его по получаем Обозначим Тогда с учетом получаем

Энергетическая скорость волны в направляющей системе равна отношению ее мощности к среднему запасу энергии на единицу длины системы.

Представление поля в виде парциальных волн позволяет получить выражения для не прибегая к интегрированию. Энергетическая скорость плоской однородной волны в диэлектрике (4.35) совпадает с фазовой (3.39). В металлических волноводах парциальные волны распространяются по зигзагообразному пути. Скорость поступательного движения энергии в металлическом волноводе равна, очевидно, проекции скорости парциальной волны на ось волновода (рис. 8.10): Энергетическая скорость волны в металлическом волноводе меньше, чем скорость однородной волны в заполняющей его среде.

ДИСПЕРСИЯ ВОЛН

Зависимость фазовой скорости волны и ее затухания от частоты называют дисперсией. Среда или направляющая система, в которой наблюдается дисперсия, называется дисперсной.

Если фазовая скорость волны понижается с ростом частоты; то дисперсия называется нормальной; повышение фазовой скорости с частотой соответствует аномальной дисперсии.

В плоской однородной волне, распространяющейся в идеальном диэлектрике, по т. е. дисперсия отсутствует. В проводнике, согласно наблюдается аномальная дисперсия. Из рис. 8.12 видно, что в металлическом и диэлектрическом волноводах наблюдается нормальная дисперсия направляемых волн.

ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬ

Сигналы, несущие информацию, передаются только модулированными колебаниями: импульсными или непрерывными. Любой модулированный сигнал представляет собой спектр частот с определенными амплитудными и фазовыми соотношениями между отдельными частотными составляющими. В дисперсной системе отдельные частотные составляющие распространяются с разными скоростями и испытывают различное затухание. Это нарушает амплитудно-фазовые соотношения в спектре сигнала, и на приемном конце его форма может сильно отличаться от исходной.

Скорость передачи узкополосного сигнала, например, максимума огибающей при амплитудной модуляции, называют групповой. При узкой полосе частот сигнал передается практически без искажения формы, если дисперсия на этих частотах не очень велика.

Групповую скорость на частоте определим, рассмотрев простейший модулированный сигнал — биение двух монохроматических колебаний с равными амплитудами и близкими частотами (рис. 8.13). Различием коэффициентов затухания в частотном интервале можно пренебречь.

Пусть в начале волновода (или другой дисперсной системы) при фазы колебаний совпадают. Найдем суммарный сигнал в произвольной точке:

где фазовые коэффициенты на частотах

Функцию представим в виде ряда Тейлора около точки

Значения и ее производных взяты при

Частотная полоса должна быть достаточно узкой, чтобы можно было пренебречь всеми членами ряда Тейлора, начиная с третьего.

Рис. 8.13

Рис. 8.14

Подставляя первые два члена этого ряда в ф-лу (8.27), получаем

Таким образом, фазовая скорость результирующего колебания соответствует скорости монохроматической волны на средней частоте. Огибающая сигнала (рис. 8.14) движется с групповой скоростью:

Выразим групповую скорость через фазовую, заменив

Отсюда следует, что если дисперсия отсутствует при нормальной дисперсии при аномальной дисперсии

УСЛОВИЕ НЕИСКАЖЕННОЙ ПЕРЕДАЧИ СИГНАЛОВ

Сложный сигнал, имеющий широкий спектр частот, можно разбить на узкие частотные полосы. Каждый узкополосный сигнал, сходный с биениями, распространяется с групповой скоростью, свойственной

данной частоте. Если групповая скорость постоянна в пределах всего спектра сигнала: или то сумма этих узкополосных сигналов даст на приемном конце неискаженный сложный сигнал. Постоянству групповой скорости соответствует линейная зависимость от частоты. Ней/скаженная передача сигнала требует, чтобы система передачи имела неизменную групповую скорость в пределах полосы частот этого сигнала.

ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬ И СКОРОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ПОЛЯ

Почти всегда групповая скорость оказывается равной энергетической скорости волны. Это совпадение не случайно. В самом деле, амплитудномодулированные колебания соответствуют изменяющейся во времени мощности на выходе передатчика. Плотность энергии пропорциональна квадрату амплитуды волны. Огибающая модулированного сигнала, изображенная, например, на рис. 8.14, делит энергию волны на порции. Групповая скорость представляет собой скорость распространения огибающей, поэтому в случае пакета волн она совпадает по смыслу с энергетической скоростью волны.

Исключением являются некоторые среды и системы с сильной аномальной дисперсией. Для них может даже оказаться, что Однако в этом случае нарушаются исходные предпосылки при выводе ф-лы (8.29), и групповая скорость теряет свой физический смысл.