Теория электромагнитного поля

Глава 1. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ

1.1. Векторы электромагнитного поля

ЗАРЯДЫ И ТОКИ — ИСТОЧНИКИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Электрический заряд — одно из свойств элементарных частиц вещества. Различают два вида зарядов: положительные и отрицательные. Электрические заряды обусловливают электрические и магнитные явления; например, силовые взаимодействия между заряженными телами и частицами.

Если одна из заряженных частиц меняет свое положение, сила ее воздействия на другие частицы меняется лишь спустя некоторый промежуток времени, пропорциональный расстоянию между частицами: воздействие одного заряженного тела передается на другое с конечной скоростью. Для объяснения такого рода - явлений вводится новый физический объект — электромагнитное поле. Любая заряженная частица связана с собственным электромагнитным -лем, которое, в свою очередь, оказывает силовое воздействие на другие заряженные частицы. Таким образам, взаимодействие между заряженными частицами осуществляется через электромагнитное (поле.

Электромагнитное поле определяется как особый вид материи, характеризующийся способностью распространяться в вакууме со скоростью, близкой к и оказывающий силовое воздействие на заряженные частицы.

Электромагнитное толе представляет собой единство двух своих составляющих — электрического и магнитного полей. Считают, что поле определено, если в каждой точке пространства известны величины и направления четырех векторов: напряженности электрического толя; электрического смещения (или иначе — электрической индукции); В — магнитной индукции; напряженности магнитного поля.

Графически структура векторного толя изображается либо с помощью векторов в ряде точек пространства, либо с помощью линий поля, которые в каждой точке касательны векторам поля. Плотность этих линий (пропорциональна величине вектора в данной точке.

Изменение любого из векторов по какому-либо направлению изображается эпюрой поля; эпюры строятся для модуля вектора или для любой его координатной составляющей.

Измерение зарядов. Величина электрического заряда измеряется кулонах и обозначается символом В простейшем (идеализированном) случае электрический заряд считают точечным. Если же он распределен в пространстве, то его называют объемным и характеризуют в каждой точке объемной плотностью:

равной пределу отношения объемного заряда к объему, в котором он распределен, при Из ф-лы (1.1) следует соотношение для определения полного заряда, заключенного в некотором объеме:

отность электрического тока. Упорядоченное движение зарядов создает электричесжий ток. Если объемный заряд движется со скоростью то в каждой точке поля можно определить вектор плотности электрического тока

равный по величине пределу отношения заряда проходящего за время через площадку перпендикулярную направлению движения заряда, к произведению при и

где , направление которого совпадает с направлением движения зарядов.

Определим размерность вектора Из ф-лы (1.3а) . (Введя единицу скорости изменения зарядов — ампер: найдем, что вектор плотности электрического тока имеет размерность

Электрический ток I, протекающий сквозь некоторую поверхность (например, сечение проводника), определяется в результате интегрирования выражений (1.3):

где нормаль в данной точке поверхности

В дальнейшем для упрощения будем пользоваться последней формой ваписи подынтегрального выражения как самой короткой. Вектор направлен по и равен по величине элементу

Покажем справедливость приведенных выше определений, рассмотрев воображаемый цилиндр объема находящийся в потоке зарядов, которые движутся со скоростью Образующая

цилиндра а нормаль к его основанию параллельна направлению скорости, Заряд, заключенный внутри цилиндра, проходит через его основание за время Тогда что соответствует данному ранее определению Так как электрический ток через площадку равен величине заряда, проходящего в единицу времени через сечение что эквивалентно интегралу

Из полученных равенств следует также откуда

ВЕКТОРЫ ПОЛЯ D И Н - ФУНКЦИИ ИСТОЧНИКОВ

Вектор электрического смещения характеризует связь электрического заряда с собственным электрическим толем. Вокруг электрического заряда существует электрическое поле, линии которого из него исходят. Считаем, что поток вектора электрического смещения через окружающую заряд поверхность равен величине этого заряда: Электрическое поле точечного заряда обладает центральной симметрией и направлено по радиусу—вектору. Если окружить заряд сферической поверхностью радиуса то Отсюда следует количественное определение вектора электрического смещения:

где орт, направленный вдоль радиуса-вектора.

Рис. 1.1

Вектор напряженности магнитного поля Н характеризует связь электрического тока с собственным магнитным полем. Вокруг провода с током создается магнитное поле, замкнутые линии которого окружают этот провод. Считаем, что

циркулядия вектора Н по замкнутому контуру, окружающему проводник, равна величине тока: Магнитное поле бесконечного! прямолинейного провода с током обладает осевой симметрией по окружности радиуса Отсюда следует количественное определение вектора напряженности магнитного поля:

где — орт в цилиндрической правой системе координат, у которой ось совпадает с направлением тока (рис. 1.1).

СИЛОВЫЕ ВЕКТОРЫ ПОЛЯ Е И В

Сила действия электромагнитного поля на заряд. Электромагнитное поле обнаруживается по его силовому воздействию на заряженные частицы. Эта сила (называемая лоренцевой) является суперпозицией сил, создаваемых электрической и магнитной составляющими поля:

Здесь сила воздействия на заряд электрического поля; сила действия на него магнитного поля; вектор скорости движения заряда. В соответствии с ф-лами (1.8) определим векторы характеризующие силовое действие электромагнитного поля на заряженные тела и частицы.

Вектор напряженности электрического поля равен пределу отношения силы воздействия поля на неподвижный точечный заряд к величине этого заряда при

Из этого соотношения определяется размерность вектора Если заряд положительный, направления векторов совпадают. Заметим, что сила с которой электрическое поле действует на заряд, не зависит от скорости заряда.

Вектор магнитной индукции можно определить из соотношения Очевидно, магнитное поле действует только на движущиеся заряды — токи, если направление их движения не совпадает с вектором В. Сила воздействия направлена перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы и она

максимальна по величине, если Размерность вектора В находим следующим образом:

1 Экспериментально величину вектора магнитной индукции определяют по силе взаимодействия магнитного поля с электрическим током в проводнике. При этом легко исключить действие на проводник электрического поля, сделав проводник электрически нейтральным: движущиеся заряды компенсируются неподвижными зарядами другого знака. Воспользовавшись ф-лой (1.5), из выражения для найдем силу, действующую на отрезок проводника с таком в магнитном поле:

Если ток протекает по плоскому замкнутому контуру (проволочной рамке), то силы, воздействующие на противоположные стороны рамки, направлены также противоположно (рис. 1.2) и образуют момент пары сил

Рис. 1.2

Здесь магнитный момент электрического тока — вектор, равный произведению силы тока на число витков и площадь рамки 5 и направленный по нормали к ее плоскости (в правой системе координат)

Для определения вектора магнитной индукции выбирают такое направление рамки с током, чтобы вращающий ее момент пары сил был максимален. Тогда направление вектора В совпадает с направлением векторного произведения а величина магнитной индукции равна пределу отношения момента сил к величине магнитного момента рамки с током при

Вывод соотношения (1.106) из (1.10а) здесь опущен. Его справедливость покажем лишь для случая прямоугольной рамки При совпадении вектора В с плоскостью рамки, как показано на рис. 1.2, Легко доказать, что справедливость этой формулы сохраняется при повороте рамки относительно вектора В, так как плечо момента сил пропорционально синусу угла между