9.5. Волноводы кругового сечения

СТРУКТУРА ПОЛЯ И ТИПЫ ВОЛЫ

Рассмотрим металлический волновод, стенки которого представляют круговой цилиндр (рис. 9.16).

Е-волны. Волновое ур-ние (8.14) для продольной составляющей записывается в цилиндрической системе координат следующим образом:

Рис. 9.16

Оно решается методом разделения переменных совместно с граничным условием: где а — радиус волновода. Введем замену: где зависит трлько от радиуса, а от полярного утла. Тогда после почленного умножения на получим

Независимость аргументов требует, чтобы третье слагае мое было постоянным; положим его равным Тогда ур-ние (9.36) распадается на два. Первое, в котором независимой переменной является полярный угол

имеет решения:

Оба решения, по существу одинаковы и отличаются лишь положением максимума поля: при для или при для При сохраняется только первое решение т. е. поле не зависит от полярного угла Поэтому будем рассматривать далее только первое решение, положив

Однозначность поля в каждой точке требует, чтобы при повороте по углу на получалось одно и то же значение функции т. е. или Это возможно только при целом включая и нулевое значение, т. е. Число определяет периодичность поля по полярному углу : число периодов функции описывающей поле, при повороте на

Второе уравнение, независимой переменной которого является радиус-вектор:

включает ту же константу Это уравнение приводится к уравнению Бесселя относительно переменной

общим решением которого является суперпозиция цилиндрических функций порядка:

Функция Вебера (ее называют также функцией Неймана и обозначают принимает при бесконечное значение. Так как при электромагнитное поле в волноводе должно быть конечным, необходимо положить Функция Бесселя поряд везде конечна и не превышает по модулю единицы (рис. 9.15а). Таким образом,

Объединяем частные решения для поля в поперечном сечении

Масштабный коэффициент в аргументе должен быть выбран так, чтобы на границе удовлетворялось граничное

условие Для этого функция Бесселя должна принимать нулевые значения при Следовательно, для волны необходимо, чтобы корень функции Бесселя порядка (рис. 9.17).

Рис. 9.17

Константа согласно ур-нию (9.35), является поперечным коэффициентом данной волны и определяет по (9.1) критические частоты и длины волн:

Н-волны. Для продольной составляющей волновое уравнение, аналогичное (9.35), решается методом разделения переменных, совместно с граничным условием (2.32): Получаем такое же общее решение:

Экстремальное значение на границе требует, чтобы, при равнялась нулю производная функции Бесселя: Следовательно, для волны необходимо, чтобы где корень функции или экстремум функции (см. рис. 9.17). Следовательно, критические величины для Н-воли:

Типы волн. Индексами в обозначении типа волны являются: периодичность поля (9.42) или (9.44) по полярному углу периодичность поля по радиусу т. е. число полных и неполных полуволн, укладывающихся от оси до стенки волновода.

Выпишем в порядке возрастания величин первые 15 значений и соответствующие значения для волн в круглом волноводе (таблица 9.4). На рис. 9.18 критические размеры волновода для простейших типов волн представлены графически.

Из таблицы видно, что основной волной, обладающей минимальной критической частотой, является волна типа хотя ее индексы не наименьшие. В круглом волноводе имеются вырожденные волны Совпадение их критических частот

Таблица 9.4 (см. скан) Корни функций Бесселя и ее производной критические частоты волн в круглом волноводе при

определяется рекуррентными соотношениями для функций Бесселя:

откуда

Радиус волновода а выбирается таким, чтобы обеспечить прохождение нужной волны с допустимым затуханием и дисперсией При этом следует иметь в виду, что все волны, помещенные в таблице выше данной, также могут распространяться в таком волноводе.

Поперечные составляющие поля определяются по общим ф-лам (8.15) и (8.17). Напомним, что в цилиндрической системе координат поперечный градиент:

Рис. 9.18

Следовательно, для Е-волн, используя (9.42), получаем:

Для Н-волн, учитывая ф-лу (9.44), находим:

где поперечный волновой коэффициент

Полученные формулы позволяют строить эпюры поля и определять структуру тока в стенках волновода кругового сечения для любой волны. Простейшими волнами с круговой симметрией поля являются волны типа и Ной их поля имеют всего по три координатных составляющих.

Волна (рис. 9.19) является низшим типом среди -волн. Она содержит компоненты Продольная составляющая достигает наибольших значений на оси волновода.

Рис. 9.19

Рис. 9.20

Осевая симметрия поля этой волны позволяет поворачивать волновод вокруг оси без изменения структуры поля, что используется во вращающихся соединениях волноводов.

Волна (рис. 9.20) имеет несколько более сложную структуру поля. В соответствии с ф-лами (9.44), (9.49) и (9.46) ее компоненты определяются соотношениями:

где

У стенок волновода при существует лишь одна составляющая поля поэтому в стенках существуют лишь кольцевые токи Отсутствие продольных токов делает волну мало чувствительной к поперечным щелям. Возможен, например, небольшой зазор между двумя секциями волновода.

Основная волна (рис. 9.21), как и все волны с 1, имеет пять не равных нулю компонент поля.

Рис. 9.21

Рис. 9.22

Сходство структуры поля основных волн в круглом и в прямоугольном волноводах определяет их аналогию как волн, имеющих наинизшую критическую частоту: для их реализации требуются наименьшие размеры волновода.

Волна (рис. 9.22) имеет ту же критическую частоту, что и что существенно при организации волноводной связи.

ПАРАМЕТРЫ ВОЛН

Параметры зависят только от критической частоты и определены в параграфе 9.1. Получена также универсальная для составляющей коэффициента затухания Найдем

теперь расчетные формулы для мощностей и доминирующей составляющей коэффициента затухания оспр.

Мощность волны Согласно выражениям (8.25) и (9.49) имеем

Интегрирование по от до дает множитель Перейдем к новой переменной которая достигает на границе волновода значения В этом случае

Для любых цилиндрических функций являющихся решениями уравнения Бесселя (9.39), известен неопределенный интеграл:

Так как получаем мощность волны типа

В частности, для волны типа Ни после подстановки численных значений, имеем:

Предельная мощность волны типа На. Из рис. 9.21 видно, что максимум электрического поля этой волны находится на оси волновода. Действительно, при составляющие физически тождественны. В этой точке Поэтому из ф-л (9.49) находим:

Подставляя отсюда в ф-лу (9.53) и заменяя на , получаем для волны

Рпред

Коэффициент затухания волн Для определения вычислим по ф-ле (8.44) с учетом (9.44) и (9.49) (на стенках волновода

Подставим полученное выражение и в (8.45):

Выражение, стоящее в круглых скобках в числителе, преобразуется следующим образом:

Определим теперь коэффициент затухания. Заменим и будем считать внутри волновода. Тогда

Коэффициент затухания волны Для этой волны второе слагаемое в квадратных скобках равно 0,4184. Сильное увеличение затухания при определяется делителем У К в а рост его с увеличением частоты — множителем Кроме того, выражение в квадратных скобках уменьшается от 1,42 при при

Под действием всех этих факторов кривая имеет пологий минимум, который простирается от до (рис. 9.23).

Рис. 9.23

Коэффициент затухания волны

У волн типа в круглом волноводе монотонно уменьшается с ростом частоты, достигая при весьма малых значений (рис. 9.23). Формально это объясняется исчезновением при второго слагаемого в квадратных скобках ; цоэтому на высоких частотах меняется как Такое уменьшение

затухания обусловлено особенностью структуры поля волны и вообще волн Нот. На высоких частотах по концепции Бриллюэна парциальные волны падают на граничную поверхность очень полого, так что продольные составляющие поля становятся весьма малыми по сравнению с поперечными. У всех волн кроме компонента стенки волновода начинает преобладать над Компонента вызывает продольные токи в стенках и ее вклад определяется вторым слагаемым в квадратных скобках ф-лы (9.55). У волн составляющая вообще отсутствует, с ростом частоты уменьшается; следовательно, плотность токов в стенкал волновода также уменьшается. Этот эффект оказывается значительно сильнее, чем увеличение поверхностного сопротивления В результате частотная кривая имеет падающий характер.

В заключение заметим следующее. Малое затухание волны возможно только при (4-4-6) в таком волноводе существует очень большое число волн высших порядков. Кроме того, расчет по справедлив лишь в том случае, если волны не вырождены, т. е. соответствующим изменением конструкции волновода критические частоты этих двух волн разнесены.

Коэффициент затухания волн определяется ф-лами (8.45), (9.42) и (9.48). После преобразований, аналогичных предыдущим, получаем

Кривые для волн приведены на рис. 9.23.

ПОЛЯРИЗАЦИОННОЕ ВЫРОЖДЕНИЕ ВОЛН

В волноводах кругового сечения при 1, как следует из ф-лы (9.38), возможны две волны, отличающиеся между собой лишь ориентацией линий поля относительно поперечной оси на угол Обозначим волну, соответствующую в (9.38) индексом с, а волну, соответствующую индексом

Рис. 9.24

Вектор Е в поле волны совпадает с одним из диаметральных сечений, которое назовем плоскостью поляризации волны. Ранее рассмотренная волна Н поляризована в плоскости а волна — в перпендикулярной ей плоскости (рис. 9.24).

Поворот плоскости поляризации не сказывается на параметрах волны. Критические частоты волны типа а также волн и в круглом волноводе совпадают; равны их скорости распространения и коэффициенты затухания. Это явление

называют поляризационным вырождением. Следствием поляризационного вырождения является довольно интенсивный обмен энергией между вырожденными волнами на нерегулярностях волновода.

Пусть на входе волновода возбуждена волна На сходных по характеру нерегулярностях часть мощности этой волны передается волне причем сохраняется определенный фазовый сдвиг между этими волнами. Так как скорости волн совпадают, возбужденные на нерегулярностях волны складываются по всей длине волновода в фазе, что и определяет довольно значительную амплитуду паразитной волны. Суммарная волна на выходе волновода оказывается эллиптически поляризованной с большой осью эллипса, повернутой на некоторый угол относительнопервоначальной плоскости поляризации. При вырождении плоскость поляризации волны неустойчива.

Измерив радиальные составляющие и параллельные большой и малой осям эллипса поляризации на выходе волновода, можно найти коэффициент кроссполяризации Величина пропорциональна волновода, числу неоднородностей и их величине.