8.5. Парциальные волны в волноводах

КОНЦЕПЦИЯ БРИЛЛЮЭНА

Поле в любом волноводе (кроме волн ТЕМ) можно рассматривать, как результат сложения плоских однородных волн, называемых парциальными, многократно отраженных от его граничных поверхностей, т. е. допустима лучевая трактовка явлений в волноводах. Это свойство называют концепцией Бриллюэна по имени французского физика, доказавшего его для и Н-волн в полых металлических волноводах. Рассмотрим концепцию парциальных волн на двух примерах.

ПОЛЫЙ МЕТАЛЛИЧЕСКИЙ ВОЛНОВОД ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ

Чтобы установить, возможно ли распространение электромагнитной волны внутри металлической трубы (рис. 8.4), необходимо показать, что суперпозиция парциальных волн удовлетворяет граничным условиям на внутренних стенках волновода Пусть парциальные волны поляризованы параллельно оси у, т. е. тогда сразу удовлетворяется граничное условие на двух стенках, лежащих в плоскостях параллельных плоскости Чтобы показать возможность выполнения этого же условия при рассмотрим вспомогательную задачу.

Пусть перпендикулярно поляризованная волна падает под некоторым углом на идеально проводящую поверхность, лежащую в плоскости На рис. 8.5 показано распределение поля для некоторого момента времени: вектор магнитного поля расположен в плоскости чертежа, а вектор электрического поля — перпендикулярно этой плоскости.

Рис. 8.4

Рис. 8.5

Штрих-пунктирные линии показывают фронты волны, соответствующие положительному максимуму а пунктирные — отрицательному точечный пунктир соответствует линиям нулевого поля

Под тем же углом волна отражается от проводящей поверхности, причем так, что удовлетворяются граничные условия на проводнике: результирующая тангенциальная составляющая на отражающей поверхности равна нулю. Если через какую-то точку на этой поверхности проходит фронт максимума падающей волны, то у отраженной волны должен проходить фронт минимума. Из рисунка видно, что условие соблюдается на всей граничной поверхности. Вследствие этого появляется ряд плоскостей, параллельных отражающей поверхности, где выполняется это же условие: по оси образуется стоячая волна с рядом параллельных узловых поверхностей.

Дадим математическое описание поля образованного суперпозицией падающей и отраженной волн. Если принять, что потери в диэлектрике отсутствуют, то для падающей волны по ф-ле (6.2) получим показатель экспоненты: а для отраженной волны: При идеально

отражающей поверхности согласно ф-лам (6.7) — (6.11) находим . Тогда результирующее поле

представляет собой неоднородную плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси Удобно описать ее структуру с помощью фазового коэффициента и поперечного волнового коэффициента :

справедливость уравнения коэффициентов (8.4) в данном случае очевидна. Электрическое поле Е образует стоячую волну вдоль поперечной оси и бегущую — вдоль оси

В ряде равноотстоящих плоскостей электрическое поле равно нулю: при Положение этих плоскостей определяется условием: откуда Поэтому рассмотренная структура поля может быть создана между двумя параллельными проводящими плоскостями, расстояние между которыми

где длина плоской однородной волны в среде.

Ограничим поле на рис. 8.5 сверху, поместив в одну из узловых плоскостей вторую металлическую пластину. Теперь плоская волна распространяется между двумя плоскостями, многократно отражаясь от каждой из них (рис. 8.6). Суперпозиция полей падающей и отраженной волн равна нулю у металлических стенок, а между ними один или несколько раз достигает максимума, равного двойной амплитуде падающей волны. Число полуволн стоячей волны, укладывающихся по оси х между проводящими стенками, равно

Рис. 8.6

Ограничив пространство металлическими поверхностями еще в двух плоскостях перпендикулярных вектору приходим к полю в прямоугольном волноводе (рис. 8.4), удовлетворяющему граничному условию на всех его стенках. Если размер волновода а задан, то угол падения парциальной волны не произволен, а определяется соотношением (8.20); он зависит также от числа определяющего сложность структуры поля волны,

распространяющейся в волноводе. Магнитное поле определяется аналогично электрическому. Из рис. 8.5 видно, что оно имеет составляющие В плоскостях, где суммарное поле максимально и равно удвоенному значению парциальной волны.

Как следует из ф-лы (8.19), волна распространяется вдоль оси с фазовым коэффициентом Эквифазными являются поверхности (поперечные сечения волновода). В волноводе распространяется плоская неоднородная волна (Е непостоянно в эквифазной плоскости).

Длина волны в волноводе определяется ф-лой (3.30), в которой заменяется на :

Можно найти А и по расстоянию между двумя максимумами поля вдоль оси волновода. Из треугольника на рис. 8.6 следует; что совпадает с ф-лой (8.21). Длина волны в полом металлическом волноводе больше, чем в неограниченном пространстве при той же частоте колебаний.

Выведем условие распространения волны в волноводе. При постоянных угол падения парциальной волны зависит от Если угол близок к 90°, парциальные волны падают на стенки волновода полого (рис. 8.7).

Рис. 8.7

По мере роста угол уменьшается и, наконец, при становится равным нулю; распространение волны прекращается. Таким образом, размер волновода ограничивает диапазон длин волн, которые способны в нем распространяться, неравенством:

Назовем верхнюю границу диапазона, в котором волна заданного типа распространяется по волноводу, критической длиной волны (в данном случае ). В волноводе могут распространяться только те колебания, у которых длина волны в свободном пространстве меньше критической:

Соответственно определяются критическая частота и условие распространения Практически всегда необходимо определенное превышение частоты над критической частотой заданного типа волны.

Н-ОБРАЗНЫЙ МЕТАЛЛОДИЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ВОЛНОВОД

Рассмотрим волновод (рис. 8.8) в виде диэлектрической пластины прямоугольного сечения с проницаемостью и волновым числом граничащей с воздухом в плоскостях

параллельных и с металлическими пластинами в плоскостях Пусть парциальные волны в диэлектрике поляризованы параллельно оси В отличие от металлического волновода (рис. 8.4) парциальные волны полностью отражаются от границы двух диэлектриков в плоскостях только в том случае, если где согласно По ф-ле (6.19) коэффициент отражения от границы двух диэлектриков его модуль равен единице, а фазовый угол определяется соотношением откуда следует, что Поэтому узловые плоскости, где электрическое поле равно нулю (парциальные волны складываются в противофазе), теперь не совпадают с границей. Внутри диэлектрической пластины вдоль оси х возникает стоячая волна с нецелым числом полуволн (с отсеченными концами синусоид, изображающих изменение поля ; границы пластины проходят в тех областях, где

Рис. 8.8

Рис. 8.9

Как было установлено в 6.3, при плоская волна проходит через границу диэлектриков, образуя в воздухе поверхностную волну. Поле этой волны при удалении от границы убывает тем быстрее, чем больше коэффициент в экспоненциальном множителе (6.20), который назовем поперечным коэффициентом поверхностной волны:

Наглядное представление о поперечной протяженности поля поверхностной волны, пропорционального дает граничное расстояние измеренное от до той плоскости, где напряженность поля в раз меньше, чем у поверхности пластины. Очевидно, что

Поверхностная волна образуется парциальными волнами, которые распространяются в воздухе по эллиптическим траекториям, возвращаясь обратно в диэлектрик (рис. 8.9). Формально это явление описывается комплексным углом преломления волны в воздухе Экспоненциально спадающие поля с обеих сторон

пластины являются непосредственным продолжением поля стоячей волны в диэлектрике. Все вместе они образуют единую волну, распространяющуюся вдоль оси с фазовым коэффициентом Из ф-л (6.18), (6.20) и (8.19) следует, что

Частотный диапазон волноводов с поверхностной волной ограничен снизу граничной частотой соответствующей критическому углу падения парциальной волны тогда и поперечный коэффициент поверхностной волны Поле волны в воздухе не убывает с расстоянием от пластины: оно становится неограниченным по оси такую волну уже нельзя считать направляемой.

В случае угол падения парциальной волны поперечный коэффициент и на границе с диэлектриком формируется поверхностная волна. Для практического использования волновода необходимо определенное превышение над чтобы граничное расстояние стало соизмеримым с толщиной 2 а (например, 10 а).

При дальнейшем росте частоты, как и в металлическом волноводе, тогда неограниченно растет, что приводит к все большей концентрации поля поверхностной волны, т. е. уменьшению ее протяженности в поперечном направлении

Таким образом, поверхностную волну можно считать специфической формой парциальной, распространяющейся под комплексным углом к оси волновода. Это позволяет обобщить концепцию Бриллюэна на волноводы с поверхностной волной.