Глава 4. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ. ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ

4.1. Закон сохранения электромагнитной энергии

КОЛИЧЕСТВЕННАЯ МЕРА ДВИЖЕНИЯ

Энергия представляет собой количественную меру движения материи. Закон сохранения энергии — один из фундаментальных законов природы: явления электромагнетизма подчиняются ему без всяких исключений. В равной степени электромагнитное поле подчиняется закону сохранения массы, связанной с энергией универсальным соотношением и закону сохранения импульса. Поэтому, рассматривая в дальнейшем энергетические характеристики движущегося электромагнитного поля, будем иметь в виду, что аналогичные соотношения справедливы для массы поля, являющейся важнейшим свойством материи, и импульса поля.

Известно, что закон сохранения энергии в механике используется для решения многих задач о движении и состоянии тел. Формулы для кинетической и потенциальной энергии дают возможность описать характерные особенности перехода механической системы из одного состояния в другое, не вникая в детальное описание этого процесса. Можно утверждать, что соотношения, определяющие сохранение энергии электромагнитного поля, столь же полезны для анализа электромагнитных процессов, как и соответствующие формулы в механике.

ОСНОВНЫЕ ГИПОТЕЗЫ

Макроскопическая теория поля основана (кроме уравнений Максвелла) на следующих двух предположениях, устанавливающих связь между векторами поля и его энергетическими характеристиками:

1. Электромагнитная энергия распределена в пространстве с объемной плотностью:

где объемная плотность энергии электрического поля, объемная плотность энергии магнитного поля.

2. Плотность потока электромагнитной энергии равна векторному произведению напряженностей электрического и магнитного полей:

где вектор Пойнтинга, указывающий направление движения энергии и равный по величине плотности ее потока.

Плотность потока энергии равнозначна плотности мощности, т. е. мощности электромагнитной волны, проходящей через единичную площадку, перпендикулярную направлению ее распространения. Размерность вектора Пойнтинга

Объемная плотность энергии характеризует состояние электромагнитного поля в данной точке пространства, а вектор Пойнтинга волновое движение поля через эту точку. Заметим, что соотношение (4.1) для в частном случае стационарных полей было установлено в курсе физики.

БАЛАНС ЭНЕРГИИ

Рассмотрим баланс энергии для некоторого объема V, ограниченного поверхностью Электромагнитная энергия, содержащаяся в этом объеме, определяется объемным интегралом и может изменяться во временя, вследствие:

— перехода внутри объема электромагнитной формы движения материи в другие формы: тепловую, механическую, химическую. Для электромагнитного поля это равнозначно потерям. Скорость отдачи энергии электромагнитным толем называется мощностью его потерь

— приобретения электромагнитным полем внутри объема V энергии от сторонних источников. При этом скорость увеличения энергии поля равна мощности сторонних сил

— пересечения электромагнитными волнами, переносящими определенную энергию, граничной поверхности В этом случае электромагнитная форма движения материи сохраняется. Поток электромагнитных волн из некоторого объема будем называть излучением. Мощность излучения определяется соотношением:

По закону сохранения энергии введенные здесь величины должны быть связаны соотношением:

ЛОКАЛИЗАЦИЯ ЭНЕРГИИ

Применительно к полю закон сохранения энергии должен быть выражен как принцип локального (местного) сохранения энергии: изменение энергии внутри любого объема (при )

сопровождается притоком или оттоком энергии через границу этого объема. Энергия сохраняется локально в каждой области или точке поля.

Основные положения о локализации и движении энергии в полях любой физической природы были разработаны Н. А. Умовым в 1874 г. Им был впервые введен вектор плотности потока энергии. Соотношение (4.2) для плотности потока электромагнитной энергии получено Пойнтингом в 1884 г.

Для рассмотрения баланса энергии в каждой точке поля введем понятия объемных плотностей мощности потерь и сторонних сил, определяемых как отношение соответствующих мощностей к объему при

Тогда из ф-лы (4.4) получаем закон сохранения электромагнитной энергии в интегральной форме:

Применив к первому слагаемому теорему Остроградского — Гаусса (2.8), получим По принципу локального сохранения энергии равенство подынтегральных выражений в (4.6) должно сохраняться в любой точке толя. Отсюда следует дифференциальная форма закона сохранения электромагнитной энергии: