2.8. Граничные условия

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

На границе между материальными телами параметры среды скачкообразно изменяются. Согласно ф-лам (2.18) при этом неизбежно испытывают скачки некоторые векторы поля. Для решения задач электродинамики, помимо уравнений Максвелла, необходимо знать граничные условия — соотношения между векторами поля в двух очень близких точках, находящихся по обе стороны - границы раздела двух сред. Граничные условия являются следствием уравнений Максвелла (2.17) для этого особого случая.

Пусть достаточно гладкая поверхность разделяет две среды в каждой из которых параметры либо постоянны, либо меняются медленно от точки к точке. Тогда в малой окрестности любой точки на поверхности можно считать границу плоской, а параметры сред — неизменными.

Таким образом, из рассмотрения исключаются точки, лежащие вблизи изломов и резких изгибов границы или в области быстрого изменения параметров хотя бы одной из сред. Масштабом при оценке малости расстояния служат размеры тела, длина волны (для переменных полей), а также требуемая детализация структуры поля в пространстве (разрешающая способность метода).

Считаем, что сторонние токи и заряды на границе отсутствуют.

НОРМАЛЬНЫЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ ПОЛЯ

Определим соотношения между нормальными составляющими полей. Для этого построим на плоской границе раздела небольшой цилиндр, охватывающий обе среды (рис. 2.7). Считаем высоту цилиндра исчезающе малой Основания цилиндра лежат в разных средах. Цилиндр настолько мал, что внутри него величины и направления полей в каждой из сред можно считать неизменными. На поверхности в бесконечно тонком слое может, в общем случае, находиться поверхностный электрический заряд с поверхностной плотностью

Применим к поверхности цилиндра третье ур-ние (2.17) — теорему Гаусса. При пренебрегаем слева вкладом интеграла от по поверхности боковых стенок, а справа — несущественным вкладом объемного заряда с конечной плотностью зато следует учесть поверхностный электрический заряд с плотностью в пределах площадки В этом случае

где нормаль, направленная из первой среды во вторую.

После интегрирования и сокращения на получаем

Нормальная составляющая вектора электрической индукции при переходе через граничную поверхность претерпевает скачок, численно равный поверхностной плотности электрического заряда.

Рис. 2.7

Заметим, что поверхностный заряд может образоваться поверхности проводников в электростатическом поле. В переменном электромагнитном поле такие заряды возможны лишь на поверхностях идеальных проводников. Поэтому при переменных полях в реальных средах нормальная составляющая вектора электрической индукции на границе не изменяется.

Используя четвертое ур-ние (2.17) для магнитной индукции, аналогично предыдущему получаем

Нормальная составляющая вектора магнитной индукции при переходе через границу не изменяется.

Выпишем с учетом соотношения для нормальных составляющих всех векторов поля в изотропных средах при

КАСАТЕЛЬНЫЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ ПОЛЯ

Для тангенциальных составляющих поля нужные соотношения определятся, если рассмотреть небольшой контур С, плоскость которого перпендикулярна поверхности (рис. 2.8). Пусть нормаль проведена к границе 5; нормаль к площадке (от читателя) с учетом направления обхода контура; единичный касательный вектор.

Предположим далее, что по поверхности в бесконечно тонком слое протекает ток. Вектор плотности поверхностного электрического тока определяется как сила тока в полосе единичной ширины или где орт, направление которого совпадает с направлением тока, пересекаемый током отрезок линии, перпендикулярный

Рис. 2.8

Применим теперь к контуру первое ур-ние (2.17) с очевидной при заменой на так как по величине конечно и следует учитывать лишь поверхностный ток:

Вкладом боковых сторон в контурный интеграл здесь пренебрегаем. Первый интеграл в правой части этого выражения также стремится к нулю, поскольку Тогда, очевидно, Заменим векторным произведением нормалей: и выполним в левой части полученного равенства (в скалярно-векторном произведении) круговую перестановку множителей (см.

Так как направление вектора По выбрано произвольно, необходимо, чтобы

Плотность поверхностного тока отлична от нуля только на граничной поверхности идеального проводника. Во всех остальных случаях Векторное произведение равно нулю, если равна нулю составляющая вектора перпендикулярная к нормали т. е. касательная составляющая

Касательная составляющая вектора напряженности магнитного поля непрерывна на границе любых реальных сред.

Если теперь применить к контуру рис. 2.8 закон Фарадея [второе ур-ние (2.17)], то после аналогичных преобразований получим что эквивалентно равенству:

Касательная составляющая вектора напряженности электрического поля непрерывна на границе любых сред.

Из (2.24) и (2.25) следует также, что ,в изотропных средах при

ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ПЕРЕМЕННЫХ ПОЛЕЙ У ПОВЕРХНОСТИ ИДЕАЛЬНОГО ПРОВОДНИКА

В электростатике при любой проводимости материала электрические поля в нем отсутствуют. Переменные поля проникают в материал с конечной проводимостью. Однако, если проводник считать идеальным, то заряды внутри него столь подвижны, что мгновенно реагируют на сколь угодно быстрые изменения поля, создавая на его поверхности поверхностную плотность заряда которая обеспечивает нулевое электрическое поле внутри проводника. Аналогично при изменении во времени магнитного поля поверхностные заряды перемещаются и создают поверхностный ток благодаря чему магнитное поле внутри (проводника отсутствует.

Указанная идеализация часто используется при рассмотрении полей вблизи проводящих поверхностей, так как проводимость реальных металлов действительно весьма велика и предположение, что она бесконечна, ведет лишь к незначительной погрешности при определении поля в диэлектрике.

Итак, в идеально-проводящей среде электромагнитное поле отсутствует: Из найденных ранее граничных условий (2.20), (2.21), (2.23) и (2.25) получаем для изотропной среды 1:

Тангенциальная составляющая напряженности электрического поля и нормальная составляющая напряженности магнитного поля у поверхности идеального проводника отсутствуют. Нормальная составляющая электрического поля определяется распределением поверхностного заряда (рис. 2.9). Плотность электрического тока на поверхности проводника равна по величине и перпендикулярна по направлению касательной составляющей напряженности магнитного поля у поверхности.

Рис. 2.9

Для определения характера изменения магнитного поля выпишем первое уравнение Максвелла (2.16) с учетом и соотношений (2.27):

Запишем ротор с помощью оператора Гамильтона (набла):

Дифференциальный оператор Гамильтона V (набла) — символический вектор, заменяющий символы градиента, дивергенции и ротора (см. [5]):

В декартовой системе координат оператор Гамильтона выражается как

Если плоскость совпадает, например, с плоскостью оператор набла можно представить в виде суммы тангенциальной и нормальной составляющих:

Первое слагаемое выражения (2.286) гаредставляет собой вектор, направленный нормально к поверхности, и может быть приравнено к правой части ф-лы (2.28а). Второе слагаемое — тангенциальный к поверхности вектор, равный нулю, так как правая часть ф-лы (2.28а) не имеет касательной составляющей. Следовательно,

т. е. структура поля в среде 1 такова, что тангенциальная составляющая магнитного поля достигает у плоской границы идеального проводника экстремального значения (в направлении нормали к границе).

Более общим методом можно получить соотношения для касательной составляющей магнитного поля у криволинейной границы идеального проводника.

В произвольных ортогональных координатах равенство (2.32) справедливо для компонент поля, направленных вдоль образующих криволинейной гравицы: в цилиндрических координатах для границы, совпадающей с цилиндрической координатной поверхностью в сферических координатах для границы идущей по конической координатной поверхности

В остальных случаях экстремально по нормали к границе произведение тангенциальной составляющей на соответствующий коэффициент Ламэ.

В цилиндрических и сферических координатах у границы, совпадающей с координатной поверхностью

В сферических координатах у границы, идущей по конической поверхности

ЗАДАЧИ

(см. скан)